4x²+12x+9=(x-4)²
Давайте подробно решим уравнение:
\[ 4x^2 + 12x + 9 = (x - 4)^2 \]
Шаг 1. Раскроем правую часть уравнения
\[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \]
Теперь уравнение выглядит так: \[ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 - 8x + 16 \]
Шаг 2. Перенесем все в одну сторону (чтобы сделать уравнение равным нулю):
Вычтем \(x^2 - 8x + 16\) из обеих частей: \[ 4x^2 + 12x + 9 - (x^2 - 8x + 16) = 0 \]
Раскроем скобки: \[ 4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 8x - 16 = 0 \]
Объединим подобные члены: \[ (4x^2 - x^2) + (12x + 8x) + (9 - 16) = 0 \] \[ 3x^2 + 20x - 7 = 0 \]
Шаг 3. Решим квадратичное уравнение
\[ 3x^2 + 20x - 7 = 0 \]
Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где
- \(a = 3\),
- \(b = 20\),
- \(c = -7\).
Шаг 4. Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \times 3 \times (-7) = 400 + 84 = 484 \]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.
Шаг 5. Найдем корни:
\[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{484}}{2 \times 3} = \frac{-20 \pm 22}{6} \]
Рассмотрим оба варианта:
При плюсе: \[ x = \frac{-20 + 22}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
При минусе: \[ x = \frac{-20 - 22}{6} = \frac{-42}{6} = -7 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x = -7 } \]
Это два решения данного уравнения.
