Рассмотрим задачу по определению потенциальной энергии системы трех точечных зарядов, расположенных в вершинах равностороннего треугольника.
Дано:
- Заряды: ( q_1 = 1,\text{мкКл} ), ( q_2 = 2,\text{мкКл} ), ( q_3 = 3,\text{мкКл} )
- Расстояние между любыми двумя зарядами: ( r = 0,1,\text{м} )
Цель:
Найти потенциальную энергию системы, то есть сумму потенциальных энергий всех пар зарядов:
[
U = U_{12} + U_{13} + U_{23}
]
где
[
U_{ij} = \frac{k \cdot q_i \cdot q_j}{r}
]
и (k = 9 \times 10^9, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2) — постоянная Кулона.
Шаг 1: Подставим значения зарядов
Пары:
- ( (q_1, q_2) = (1,мкКл, 2,мкКл) )
- ( (q_1, q_3) = (1,мкКл, 3,мкКл) )
- ( (q_2, q_3) = (2,мкКл, 3,мкКл) )
Переведем заряды из мкКл в Кл:
[
1,\text{мкКл} = 1 \times 10^{-6},\text{Кл}
]
[
2,\text{мкКл} = 2 \times 10^{-6},\text{Кл}
]
[
3,\text{мкКл} = 3 \times 10^{-6},\text{Кл}
]
Шаг 2: Вычислим потенциальные энергии для каждой пары
[
U_{ij} = \frac{k \cdot q_i \cdot q_j}{r}
]
Для пары ( (q_1, q_2) ):
[
U_{12} = \frac{9 \times 10^9 \times (1 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-6})}{0,1} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-12}}{0,1}
]
[
U_{12} = \frac{18 \times 10^{-3}}{0,1} = 0,18, \text{Дж}
]
Для пары ( (q_1, q_3) ):
[
U_{13} = \frac{9 \times 10^9 \times (1 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-6})}{0,1} = \frac{27 \times 10^{-3}}{0,1} = 0,27, \text{Дж}
]
Для пары ( (q_2, q_3) ):
[
U_{23} = \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-6})}{0,1} = \frac{54 \times 10^{-3}}{0,1} = 0,54, \text{Дж}
]
Шаг 3: Найдём общую потенциальную энергию
[
U_{\text{общее}} = U_{12} + U_{13} + U_{23} = 0,18 + 0,27 + 0,54 = 0,99, \text{Дж}
]
Округляем до целого числа:
[
\boxed{1, \text{Дж}}
]
Итог:
Потенциальная энергия системы равна примерно 1 Джоулю.
