Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1 . M и N – середины его ребер AD и CD, соответственно. а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данные точки. б) Постройте прямую, проходящую…

Давайте разберёмся с каждой частью задачи подробно и пошагово, чтобы понять, как решить её и визуализировать всю ситуацию.

---

Общая информация и наблюдения

• У нас есть куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), где вершины:

  • Основание: \( ABCD \)
  • Верхнее основание: \( A_1B_1C_1D_1 \)

• Ребро куба длиной 1 (то есть \( |AB|=|AD|=|A A_1|=1 \)).

• \( M \) — середина ребра \( AD \).

• \( N \) — середина ребра \( CD \).

---

Шаг 1: Изобразите куб и точки \( M \) и \( N \)

• Куб: можно нарисовать в пространстве — представить его в виде куба на чертеже.
• Точки:
  • \( M \) — середина ребра \( AD \): \[ M = \frac{A + D}{2} \]
  • \( N \) — середина ребра \( CD \): \[ N = \frac{C + D}{2} \]

---

Шаг 2: Построить прямую через \( A_1 \) параллельную \( MN \)

• Нужно найти направление для этой прямой — оно равно направлению \( MN \).
• Точка \( A_1 \) — вершина верхнего основания, она находится прямо над \( A \).
• Построение:
  • Проведем штриховой линией параллельно \( MN \) через точку \( A_1 \).

---

Шаг 3: Найти тангенс угла наклона прямой \( C_1 M \) к плоскости основания \( ABCD \)

• Плоскость основания \( ABCD \):
  • Ее нормально вектор можно взять из трех точек, например через вектор \( AB \) и \( AD \).
• Прямая \( C_1 M \):
  • Нужно найти угол между этой прямой и плоскостью.
• Способ вычисления:
  • Найти направление \( C_1 M \).
  • Определить нормаль к плоскости \( ABCD \).
  • Вычислить угол между направлением \( C_1 M \) и нормалью к плоскости.
  • В конце — найти тангенс этого угла:

\[ \operatorname{tg} \theta = \frac{\text{проекция направления } C_1 M \ на плоскость}}{\text{высота, перпендикулярная к плоскости}} \]

или более точно:

\[ \operatorname{tg} \theta = \frac{\left| \text{направление } C_1 M \times \text{нормаль к плоскости} \right|}{\text{скалярное произведение } \text{направление } C_1 M \text{ и } \text{нормаль к плоскости}} \]

---

Шаг 4: Найти площадь поверхности пирамиды \( MDCC_1 \)

• Вершина: \( M \).

• Основание: треугольник \( D C C_1 \).

• Ребра:

  • \( MD \)
  • \( DC_1 \)
  • \( CC_1 \)

• Площадь поверхности: сумма площадей всех трех граней (треугольников).

---

Итоги и формулы

Важные геометрические сведения:

• \( A = (0,0,0) \)
• \( B = (1,0,0) \)
• \( D = (0,1,0) \)
• \( A_1 = (0,0,1) \)
• \( C = (1,1,0) \)
• \( C_1 = (1,1,1) \)

Точки:

• \( M = \frac{A + D}{2} = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0) \)
• \( N = \frac{C + D}{2} = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, 0\right) = (0.5, 1, 0) \)

---

Решение по частям:

а) Изображение куба и точек \( M \) и \( N \)

• В чертеже куба обозначены вершины.
• Точка \( M = (0, 0.5, 0) \) — середина ребра \( AD \).
• Точка \( N = (0.5, 1, 0) \) — середина ребра \( CD \).

---

б) Построить прямую через \( A_1 \), параллельную \( MN \)

• Вектор \( \overrightarrow{MN} = N - M = (0.5 - 0, 1 - 0.5, 0 - 0) = (0.5, 0.5, 0) \).
• Прямая через \( A_1 = (0,0,1) \) с направлением \( (0.5, 0.5, 0) \):

\[ x = 0 + 0.5t, \quad y = 0 + 0.5t, \quad z=1 \]

---

в) Тангенс угла наклона \( C_1 M \) к плоскости \( ABCD \)

• Направление \( C_1 M = M - C_1 = (0, 0.5, 0) - (1,1,1) = (-1, -0.5, -1) \).

• Вектор нормали к плоскости \( ABCD \):

Плоскость \( ABCD \) можно задать через \( A, B, D \):

• Вектора: \[ \vec{AB} = (1,0,0), \quad \vec{AD} = (0,1,0) \]

• Нормаль: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD} = (0,0,1) \]

• Тогда \( \mathbf{n} = (0,0,1) \).

• Для нахождения угла \( \theta \) между направлением \( C_1 M \) и плоскостью, нужно найти угол между вектором \( \vec{C_1 M} \) и нормалью \( \vec{n} \).

• Формула тангенса:

\[ \operatorname{tg} \theta = \frac{|\text{проекция } \vec{C_1 M} \text{ на плоскость}|}{\text{высота, перпендикулярная плоскости}} \]

Но проще — выбрать угол между вектором в направлении \( C_1 M \) и нормалью:

\[ \cos \theta = \frac{ |\vec{C_1 M} \cdot \vec{n}| }{ |\vec{C_1 M}| |\vec{n}| } \]

\[ \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \]

Тангенс угла наклона:

\[ \tan \theta = \frac{\sqrt{ |\vec{C_1 M}|^2 - (\vec{C_1 M} \cdot \vec{n})^2 }}{\vec{C_1 M} \cdot \vec{n}} \]

Подставим числа:

\[ |\vec{C_1 M}| = \sqrt{(-1)^2 + (-0.5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5 \]

\[ \vec{C_1 M} \cdot \vec{n} = (-1) \times 0 + (-0.5) \times 0 + (-1) \times 1 = -1 \]

Тогда:

\[ \boxed{ \tan \theta = \frac{\sqrt{(1.5)^2 - (-1)^2}}{-1} = \frac{\sqrt{2.25 - 1}}{1} = \sqrt{1.25} \approx 1.118 } \]

(модуль в числителе, так как тангенс — положительный, при угле в первой четверти).

---

г) Площадь поверхности пирамиды \( MDCC_1 \)

• Основание: \( D C C_1 \).
• Вершина: \( M \).

Найдем площади треугольников:

1. \( \triangle D C C_1 \):

   • Вершины: \[ D=(0,1,0), \quad C=(1,1,0), \quad C_1=(1,1,1) \]
   • Вектор \( DC = C - D = (1,0,0) \),
   • Вектор \( C C_1 = (0,0,1) \).

   Площадь:

\[ S_{DCC_1} = \frac{1}{2} |DC \times C C_1| = \frac{1}{2} |\ (1,0,0) \times (0,0,1)| = \frac{1}{2} |(0,1,0)| = \frac{1}{2} \times 1= 0.5 \]

2. \( \triangle M D C \):

   • \( M=(0,0.5,0) \),
   • \( D=(0,1,0) \),
   • \( C=(1,1,0) \).

   Векторы: \[ M D = D - M = (0, 0.5, 0), \quad M C = (1, 0.5, 0) \]

   Площадь:

\[ S_{MD C} = \frac{1}{2} |M D \times M C| = \frac{1}{2} |(0,0.5,0) \times (1,0.5,0)| \]

Векторное произведение:

\[ (0,0.5,0) \times (1,0.5,0) = (0 \times 0 - 0.5 \times 0, 0 - 0 \times 1, 0.5 \times 1 - 0 \times 0.5) = (0, 0, 0.5) \]

Площадь:

\[ S_{MD C} = \frac{1}{2} \times |\ (0,0,0.5)| = \frac{1}{2} \times 0.5= 0.25 \]

3. \( \triangle M C C_1 \):

• Векторы: \[ M C = (1, 0.5, 0), \quad C C_1 = (0, 0, 1) \]

• Площадь:

\[ S_{M C C_1} = \frac{1}{2}|M C \times C C_1| = \frac{1}{2} |(1,0.5,0) \times (0,0,1)| \]

Векторное произведение:

\[ (1,0.5,0) \times (0,0,1) = (0.5 \times 1 - 0 \times 0, 0 - 1 \times 0, 1 \times 0 - 0.5 \times 0) = (0.5, 0, 0) \]

Площадь:

\[ S_{M C C_1} = \frac{1}{2} \times 0.5= 0.25 \]

---

Общая площадь поверхности:

\[ S_{total} = S_{D C C_1} + S_{M D C} + S_{M C C_1} = 0.5 + 0.25 + 0.25= 1.0 \]

---

Итоговые ответы:

а) На чертеже изображен куб \( ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 \), точки \( M \) и \( N \) — середины указанных рёбер.

б) Построенная прямая через \( A_1 \) параллельна вектору \( MN \) и передается через \( (0,0,1) \) с направлением \( (0.5,0.5,0) \).

в) \(\boxed{\tan \theta \approx 1.118}\)

г) Площадь поверхности пирамиды \( MDCC_1 \) равна \( \boxed{1} \).

Если потребуется визуализация — я могу помочь с подготовкой схемы или чертежа!