Давайте обозначим скорости двух туристов как ( v_1 ) и ( v_2 ) (в км/ч).
Из условия задачи:
- Расстояние между пунктами А и В: ( 20 ) км.
- Первый турист вышел из пункта А.
- Второй турист вышел из пункта В через 50 минут (это (\frac{50}{60} = \frac{5}{6}) часа) после первого туриста.
- Встреча произошла через 1 час 30 минут (1,5 часа) после выхода второго туриста, то есть через ( 1.5 + \frac{5}{6} ) часов после выхода первого туриста.
- Если бы оба вышли одновременно, то встретились бы через 2 часа.
Нам нужно найти ( v_1 ) и ( v_2 ).
Шаг 1. Время от выхода первого туриста до встречи
Общее время, прошедшее с момента выхода первого туриста до встречи:
[
t_{общ} = t_2 + \frac{5}{6}
]
где ( t_2 = 1.5 ) часа — время после выхода второго туриста до встречи.
Значит,
[
t_{общ} = 1.5 + \frac{5}{6} = 1.5 + 0.8333 = 2.3333 \text{ часа} \approx \frac{7}{3} \text{ часа}
]
Шаг 2. Выражения для пройденных путей
- Первый турист за время ( t_{общ} ) прошел:
[
s_1 = v_1 \times t_{общ}
]
- Второй турист за тот же период (после его выхода) прошел:
[
s_2 = v_2 \times t_2 = v_2 \times 1.5
]
Общий путь, пройденный обоими туристами, равен расстоянию между пунктами:
[
s_1 + s_2 = 20
]
Подставляем:
[
v_1 \times \frac{7}{3} + v_2 \times 1.5 = 20
]
(Уравнение 1)
Шаг 3. Условие, если бы туристы вышли одновременно
Если бы оба вышли одновременно, то они встретились бы через 2 часа:
[
v_1 \times 2 + v_2 \times 2 = 20
]
или
[
2(v_1 + v_2) = 20
]
откуда
[
v_1 + v_2 = 10
]
(Уравнение 2)
Шаг 4. Решение системы уравнений
Итак, у нас есть система:
[
\begin{cases}
v_1 \times \frac{7}{3} + v_2 \times 1.5 = 20 \
v_1 + v_2 = 10
\end{cases}
]
Перепишем первое уравнение:
[
\frac{7}{3} v_1 + 1.5 v_2 = 20
]
Заменим ( v_2 ) из второго уравнения:
[
v_2 = 10 - v_1
]
Подставим в первое уравнение:
[
\frac{7}{3} v_1 + 1.5 (10 - v_1) = 20
]
Раскроем скобки:
[
\frac{7}{3} v_1 + 15 - 1.5 v_1 = 20
]
Приведем к общему виду:
[
\frac{7}{3} v_1 - 1.5 v_1 = 20 - 15 = 5
]
Обратим внимание, что ( 1.5 = \frac{3}{2} ).
Перепишем:
[
\frac{7}{3} v_1 - \frac{3}{2} v_1 = 5
]
Общий случай — привести к общему знаменателю 6:
[
\left(\frac{14}{6} v_1 - \frac{9}{6} v_1\right) = 5
]
Объединяю:
[
\frac{14 v_1 - 9 v_1}{6} = 5
]
[
\frac{5 v_1}{6} = 5
]
Отсюда:
[
5 v_1 = 30
]
[
v_1 = 6 \text{ км/ч}
]
Теперь находим ( v_2 ):
[
v_2 = 10 - v_1 = 10 - 6 = 4 \text{ км/ч}
]
Ответ:
- Скорость первого туриста: 6 км/ч
- Скорость второго туриста: 4 км/ч
Если потребуется, я могу дать пояснения или дополнительные решения!
