Туристы на крейсерской яхте в 8 часов утра отправились от пристани против течения реки. Через некоторое время яхта остановилась у остро- ва, где пробыла 4 часа, и вернулась…

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти расстояние от пристани до острова.

Шаг 1. Обозначим переменные:

• \( D \) — расстояние от пристани до острова (в километрах).
• Скорость яхты относительно воды (собственная скорость) — \( V_y = 12 \text{ км/ч} \).
• Скорость течения реки — \( V_t = 1 \text{ км/ч} \).
• Время отправления — 8:00 (это начальный момент времени).
• Время, когда яхта вернулась — 14:24 (по условию).

Шаг 2. Определим время в пути

Общее время от отправления до возвращения — это:

\[ T_{\text{общ}} = \text{время с 8:00 до 14:24} \]

Посчитаем в часах:

\[ 14:24 = 14 + 24/60 = 14 + 0,4 = 14,4 \text{ часа} \]

с 8:00 до 14:24 прошло:

\[ T_{\text{общ}} = 14,4 - 8 = 6,4 \text{ часа} \]

Шаг 3. Учтём остановку у острова

Яхта остановилась у острова на 4 часа. Необходимо выразить время в пути без учёта этого времени.

Обозначим:

• Время в пути от пристани до острова — \( t_1 \).
• Время в пути от острова обратно к пристани — \( t_2 \).

Тогда:

\[ t_1 + t_2 + 4 = 6,4 \]

Отсюда:

\[ t_1 + t_2 = 6,4 - 4 = 2,4 \text{ часа} \]

Шаг 4. Запишем расстояния в пути

• Расстояние по течению (от пристани до острова): \( D \).
• Время в пути туда — \( t_1 \).

Скорость яхты по течению: \( V_{в} = V_y + V_t = 12 + 1 = 13 \text{ км/ч} \).

Тогда:

\[ D = V_{в} \times t_1 = 13 \times t_1 \]

• Расстояние обратно — то же \( D \).
• Время обратно — \( t_2 \).

Скорость против течения: \( V_{пр} = V_y - V_t = 12 - 1 = 11 \text{ км/ч} \).

Тогда:

\[ D = V_{пр} \times t_2 = 11 \times t_2 \]

Шаг 5. Получим систему уравнений

Итак:

\[ D = 13 t_1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{D}{13} \] \[ D = 11 t_2 \quad \Rightarrow \quad t_2 = \frac{D}{11} \]

Также:

\[ t_1 + t_2 = 2,4 \]

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{D}{13} + \frac{D}{11} = 2,4 \]

Найдем сумму:

\[ D \left(\frac{1}{13} + \frac{1}{11}\right) = 2,4 \]

Общий знаменатель:

\[ \frac{1}{13} + \frac{1}{11} = \frac{11}{143} + \frac{13}{143} = \frac{24}{143} \]

Значит:

\[ D \times \frac{24}{143} = 2,4 \]

Отсюда:

\[ D = 2,4 \times \frac{143}{24} \]

Упростим:

\[ D = \frac{2,4 \times 143}{24} \]

Посчитаем:

\[ 2,4 \times 143 = 343,2 \]

Итак:

\[ D = \frac{343,2}{24} = 14,3 \text{ км} \]

Ответ:

Яхта отплыла на примерно 14,3 километра от пристани.