Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти расстояние от пристани до острова.
Шаг 1. Обозначим переменные:
- ( D ) — расстояние от пристани до острова (в километрах).
- Скорость яхты относительно воды (собственная скорость) — ( V_y = 12 \text{ км/ч} ).
- Скорость течения реки — ( V_t = 1 \text{ км/ч} ).
- Время отправления — 8:00 (это начальный момент времени).
- Время, когда яхта вернулась — 14:24 (по условию).
Шаг 2. Определим время в пути
Общее время от отправления до возвращения — это:
[
T_{\text{общ}} = \text{время с 8:00 до 14:24}
]
Посчитаем в часах:
[
14:24 = 14 + 24/60 = 14 + 0,4 = 14,4 \text{ часа}
]
с 8:00 до 14:24 прошло:
[
T_{\text{общ}} = 14,4 - 8 = 6,4 \text{ часа}
]
Шаг 3. Учтём остановку у острова
Яхта остановилась у острова на 4 часа. Необходимо выразить время в пути без учёта этого времени.
Обозначим:
- Время в пути от пристани до острова — ( t_1 ).
- Время в пути от острова обратно к пристани — ( t_2 ).
Тогда:
[
t_1 + t_2 + 4 = 6,4
]
Отсюда:
[
t_1 + t_2 = 6,4 - 4 = 2,4 \text{ часа}
]
Шаг 4. Запишем расстояния в пути
- Расстояние по течению (от пристани до острова): ( D ).
- Время в пути туда — ( t_1 ).
Скорость яхты по течению: ( V_{в} = V_y + V_t = 12 + 1 = 13 \text{ км/ч} ).
Тогда:
[
D = V_{в} \times t_1 = 13 \times t_1
]
- Расстояние обратно — то же ( D ).
- Время обратно — ( t_2 ).
Скорость против течения: ( V_{пр} = V_y - V_t = 12 - 1 = 11 \text{ км/ч} ).
Тогда:
[
D = V_{пр} \times t_2 = 11 \times t_2
]
Шаг 5. Получим систему уравнений
Итак:
[
D = 13 t_1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{D}{13}
]
[
D = 11 t_2 \quad \Rightarrow \quad t_2 = \frac{D}{11}
]
Также:
[
t_1 + t_2 = 2,4
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{D}{13} + \frac{D}{11} = 2,4
]
Найдем сумму:
[
D \left(\frac{1}{13} + \frac{1}{11}\right) = 2,4
]
Общий знаменатель:
[
\frac{1}{13} + \frac{1}{11} = \frac{11}{143} + \frac{13}{143} = \frac{24}{143}
]
Значит:
[
D \times \frac{24}{143} = 2,4
]
Отсюда:
[
D = 2,4 \times \frac{143}{24}
]
Упростим:
[
D = \frac{2,4 \times 143}{24}
]
Посчитаем:
[
2,4 \times 143 = 343,2
]
Итак:
[
D = \frac{343,2}{24} = 14,3 \text{ км}
]
Ответ:
Яхта отплыла на примерно 14,3 километра от пристани.
