Давайте разберемся с первым заданием про конусы.
Дано:
- Мы имеем прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см.
- Он вращается вокруг длинного катета (16 см), образуя конус.
- Он вращается вокруг короткого катета (12 см), образуя другой конус.
Шаг 1: Вычисление гипотенузы (у звезды получается радиус образованной поверхности).
Гипотенуза треугольника (вычисляем по теореме Пифагора):
[ l = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см} ]
При вращении вокруг длинного катета (16 см):
- Радиус основания ( r = 12 ) см (короткий катет).
- Высота ( h = 16 ) см (длина катета, вокруг которого вращаемся).
- Образованный конус: радиус (r = 12) см, высота (h = 16) см.
- Модель: боковая поверхность конуса выражается формулой ( S_b = \pi r l_{\text{накл}}), где (l_{\text{накл}}) — образующая.
Образующая ( l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \text{ см}).
Площадь боковой поверхности:
[ S_{b1} = \pi r l = \pi \times 12 \times 20 = 240 \pi ]
При вращении вокруг короткого катета (12 см):
- Радиус основания ( r = 16 ) см (длина другого катета).
- Высота ( h = 12 ) см (короткий катет).
- Образующая:
[ l = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20 \text{ см}].
Площадь боковой поверхности:
[ S_{b2} = \pi r l = \pi \times 16 \times 20 = 320 \pi ]
Ответы:
[
\boxed{
\text{Площадь боковой поверхности конуса при вращении вокруг длинного катета} = 240 \pi
}
]
[
\boxed{
\text{Площадь боковой поверхности при вращении вокруг короткого катета} = 320 \pi
}
]
Теперь второе задание.
Дано:
- Площадь боковой поверхности цилиндра ( S_b = 150 \pi ).
- Высота цилиндра в 3 раза меньше радиуса основания, то есть ( h = \frac{r}{3} ).
Формула площади боковой поверхности цилиндра:
[ S_b = 2 \pi r h ]
Подставим ( h = \frac{r}{3} ):
[ 150 \pi = 2 \pi r \times \frac{r}{3} ]
[ 150 \pi = \frac{2 \pi r^2}{3} ]
Упростим:
[ 150 \pi \times 3 = 2 \pi r^2 ]
[ 450 \pi = 2 \pi r^2 ]
Удалим ( \pi ):
[ 450 = 2 r^2 ]
[ r^2 = \frac{450}{2} = 225 ]
[ r = \sqrt{225} = 15 \text{ см} ]
Итоговый ответ:
[
\boxed{15}
]
Если есть вопросы по расчетам или нужен дополнительный разбор, скажите!
