(1-log2^12)(1-log6^12)
Давайте подробно разберем выражение: \((1 - \log_2 12) \times (1 - \log_6 12)\).
Цель — понять и решить его.
Шаг 1: Анализ выражения
Выражение состоит из двух частей:
\[ (1 - \log_2 12) \quad \text{и} \quad (1 - \log_6 12) \]
нужно перемножить.
Шаг 2: Работа с логарифмами
Обратим внимание на логарифмы:
- \(\log_2 12\) — логарифм 12 по основанию 2.
- \(\log_6 12\) — логарифм 12 по основанию 6.
Шаг 3: Вычисление \(\log_2 12\)
Запишем 12 через степени 2 и 3, так как 12 = 2^2 * 3.
Но для удобства, лучше оставить так и перейти к свойствам логарифмов.
\[ \log_2 12 = \frac{\log 12}{\log 2} \]
(при использовании любого базового логарифма, например, десятичного).
Шаг 4: Выражение \(\log_6 12\)
Также используем свойство:
\[ \log_6 12 = \frac{\log 12}{\log 6} \]
Шаг 5: Связь между логарифмами
Рассмотрим выражения вместе:
\[ (1 - \frac{\log 12}{\log 2}) \times (1 - \frac{\log 12}{\log 6}) \]
Однако, чтобы удобнее было работать, попробуем выразить \(\log 12\) через логарифмы с одним основанием.
Шаг 6: Запишем \(\log 12\)
12 = 2^2 * 3
\[ \log 12 = \log (2^2 \times 3) = \log 2^2 + \log 3 = 2 \log 2 + \log 3 \]
Заменим:
\[ \log 12 = 2 \log 2 + \log 3 \]
Тогда:
\[ \log_2 12 = \frac{\log 12}{\log 2} = \frac{2 \log 2 + \log 3}{\log 2} \]
Разделим:
\[ \log_2 12 = 2 + \frac{\log 3}{\log 2} \]
Обозначим для удобства:
\[ a = \log 2, \quad b = \log 3 \]
Тогда:
\[ \log_2 12 = 2 + \frac{b}{a} \]
Шаг 7: Аналогично для \(\log_6 12\)
Обозначим \(\log 6 = \log (2 \times 3) = \log 2 + \log 3 = a + b\).
Тогда:
\[ \log_6 12 = \frac{\log 12}{\log 6} = \frac{2a + b}{a + b} \]
Шаг 8: Запишем выражение полностью
Подставим эти значения в исходное выражение:
\[ (1 - \log_2 12) \times (1 - \log_6 12) = \left(1 - \left(2 + \frac{b}{a}\right)\right) \times \left(1 - \frac{2a + b}{a + b}\right) \]
Упростим каждую скобку.
Шаг 9: Упрощение первой скобки
\[ 1 - \left(2 + \frac{b}{a}\right) = 1 - 2 - \frac{b}{a} = -1 - \frac{b}{a} \]
Шаг 10: Упрощение второй скобки
\[ 1 - \frac{2a + b}{a + b} \]
Обозначим это как:
\[ 1 - \frac{2a + b}{a + b} \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{a + b}{a + b} - \frac{2a + b}{a + b} = \frac{a + b - (2a + b)}{a + b} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ a + b - 2a - b = -a \]
Итак, вторая скобка равна:
\[ \frac{-a}{a + b} \]
Шаг 11: Итоговое выражение
Теперь исходное выражение преобразуется в:
\[ \left(-1 - \frac{b}{a}\right) \times \left(\frac{-a}{a + b}\right) \]
Обратим внимание, что \(\left(-1 - \frac{b}{a}\right) = - \left(1 + \frac{b}{a}\right)\):
\[ = - \left(1 + \frac{b}{a}\right) \times \frac{-a}{a + b} \]
Произведение двух минусов даст плюс:
\[ = \left(1 + \frac{b}{a}\right) \times \frac{a}{a + b} \]
Шаг 12: Упростим дальше
Раскроем скобки в числителе:
\[ \left(\frac{a}{a} + \frac{b}{a}\right) \times \frac{a}{a + b} = \left(1 + \frac{b}{a}\right) \times \frac{a}{a + b} \]
Объединим сумму:
\[ = \frac{a + b}{a} \times \frac{a}{a + b} \]
Теперь упростим произведение:
\[ = \frac{a + b}{a} \times \frac{a}{a + b} = 1 \]
Ответ:
Выражение \((1 - \log_2 12) \times (1 - \log_6 12) = 1\).
Если есть еще вопросы или нужно объяснить подробнее — обращайся!
