(1-log2^12)(1-log6^12)

Давайте подробно разберем выражение: \((1 - \log_2 12) \times (1 - \log_6 12)\). Цель — понять и решить его. --- ### Шаг 1: Анализ выражения Выражение состоит из двух частей: \[ (1 - \log_2 12) \quad \text{и} \quad (1 - \log_6 12) \] нужно перемножить. --- ### Шаг 2: Работа с логарифмами Обратим внимание на логарифмы: - \(\log_2 12\) — логарифм 12 по основанию 2. - \(\log_6 12\) — логарифм 12 по основанию 6. ### Шаг 3: Вычисление \(\log_2 12\) Запишем 12 через степени 2 и 3, так как 12 = 2^2 * 3. Но для удобства, лучше оставить так и перейти к свойствам логарифмов. \[ \log_2 12 = \frac{\log 12}{\log 2} \] (при использовании любого базового логарифма, например, десятичного). ### Шаг 4: Выражение \(\log_6 12\) Также используем свойство: \[ \log_6 12 = \frac{\log 12}{\log 6} \] --- ### Шаг 5: Связь между логарифмами Рассмотрим выражения вместе: \[ (1 - \frac{\log 12}{\log 2}) \times (1 - \frac{\log 12}{\log 6}) \] Однако, чтобы удобнее было работать, попробуем выразить \(\log 12\) через логарифмы с одним основанием. ### Шаг 6: Запишем \(\log 12\) 12 = 2^2 * 3 \[ \log 12 = \log (2^2 \times 3) = \log 2^2 + \log 3 = 2 \log 2 + \log 3 \] Заменим: \[ \log 12 = 2 \log 2 + \log 3 \] Тогда: \[ \log_2 12 = \frac{\log 12}{\log 2} = \frac{2 \log 2 + \log 3}{\log 2} \] Разделим: \[ \log_2 12 = 2 + \frac{\log 3}{\log 2} \] Обозначим для удобства: \[ a = \log 2, \quad b = \log 3 \] Тогда: \[ \log_2 12 = 2 + \frac{b}{a} \] --- ### Шаг 7: Аналогично для \(\log_6 12\) Обозначим \(\log 6 = \log (2 \times 3) = \log 2 + \log 3 = a + b\). Тогда: \[ \log_6 12 = \frac{\log 12}{\log 6} = \frac{2a + b}{a + b} \] --- ### Шаг 8: Запишем выражение полностью Подставим эти значения в исходное выражение: \[ (1 - \log_2 12) \times (1 - \log_6 12) = \left(1 - \left(2 + \frac{b}{a}\right)\right) \times \left(1 - \frac{2a + b}{a + b}\right) \] Упростим каждую скобку. --- ### Шаг 9: Упрощение первой скобки \[ 1 - \left(2 + \frac{b}{a}\right) = 1 - 2 - \frac{b}{a} = -1 - \frac{b}{a} \] --- ### Шаг 10: Упрощение второй скобки \[ 1 - \frac{2a + b}{a + b} \] Обозначим это как: \[ 1 - \frac{2a + b}{a + b} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{a + b}{a + b} - \frac{2a + b}{a + b} = \frac{a + b - (2a + b)}{a + b} \] Раскроем скобки в числителе: \[ a + b - 2a - b = -a \] Итак, вторая скобка равна: \[ \frac{-a}{a + b} \] --- ### Шаг 11: Итоговое выражение Теперь исходное выражение преобразуется в: \[ \left(-1 - \frac{b}{a}\right) \times \left(\frac{-a}{a + b}\right) \] Обратим внимание, что \(\left(-1 - \frac{b}{a}\right) = - \left(1 + \frac{b}{a}\right)\): \[ = - \left(1 + \frac{b}{a}\right) \times \frac{-a}{a + b} \] Произведение двух минусов даст плюс: \[ = \left(1 + \frac{b}{a}\right) \times \frac{a}{a + b} \] --- ### Шаг 12: Упростим дальше Раскроем скобки в числителе: \[ \left(\frac{a}{a} + \frac{b}{a}\right) \times \frac{a}{a + b} = \left(1 + \frac{b}{a}\right) \times \frac{a}{a + b} \] Объединим сумму: \[ = \frac{a + b}{a} \times \frac{a}{a + b} \] Теперь упростим произведение: \[ = \frac{a + b}{a} \times \frac{a}{a + b} = 1 \] --- ### **Ответ:** **Выражение \((1 - \log_2 12) \times (1 - \log_6 12) = 1\).** --- Если есть еще вопросы или нужно объяснить подробнее — обращайся!