Вычислите площадь боковой и полной поверхностей правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если стороны оснований равны 7 дм и 8 дм, а апофема равна 7 дм.
Давайте пошагово решим задачу по вычислению площади боковой и полной поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды.
Дано:
- Длины оснований: верхнее — 7 дм, нижнее — 8 дм
- Апофема ( наклонная ребро боковой поверхности): 7 дм
Шаг 1. Визуализация и понятия
Правильная усеченная четырёхугольная пирамида — это фигура, у которой:
- основание — правильный четырёхугольник с длинами сторон 8 дм
- верхнее основание — тоже правильный четырёхугольник с длинами сторон 7 дм
- боковые грани — трапеции, потому что основания параллельны, а пирамиду “усекли” горизонтально.
Шаг 2. Найти высоту боковых граней (апофему)
Апофема — это наклонный рёбро боковой поверхности от вершины боковой грани до основания.
Дано: апофема \( s = 7 \text{ дм} \).
Итак, апофема — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где:
- один катет — высота боковой грани (h_side)
- другой катет — половина разницы длин оснований или отрезки, связывающие вершины оснований.
Шаг 3. Вспомогательные расчёты: высоты оснований
Обозначим:
- \( a = 8 \text{ дм} \) — длина нижнего основания
- \( a' = 7 \text{ дм} \) — длина верхнего основания
К Вершинам нижнего и верхнего основания — все точки расположены симметрично относительно центральной оси.
Шаг 4. Расчет длины средней линии основания
Длина средней линии — это среднее арифметическое двух оснований:
\[ m = \frac{a + a'}{2} = \frac{8 + 7}{2} = 7.5 \text{ дм} \]
Шаг 5. Расчет высоты боковых граней \( h_{b} \)
Используем право- треугольник: апофема — гипотенуза, а катет — разница радиусов оснований, деленная пополам:
\[ \Delta = \frac{a - a'}{2} = \frac{8 - 7}{2} = 0.5 \text{ дм} \]
Чтобы найти высоту боковой гранки:
\[ h_b = \sqrt{s^2 - \Delta^2} = \sqrt{7^2 - 0.5^2} = \sqrt{49 - 0.25} = \sqrt{48.75} \approx 6.98 \text{ дм} \]
Это — высота боковой плоскости (наклонная от вершины боковой грани к основанию).
Шаг 6. Площадь боковых поверхностей трапеций
Площадь каждой трапеции равна:
\[ S_{бок.} = \text{средняя линия} \times высота боковой грани \]
Средняя линия трапеции получается как:
\[ m_{трапеции} = \frac{a + a'}{2} = 7.5 \text{ дм} \]
Высота трапеции — это высота боковой грани \( h_b \):
\[ S_{конд.} = m \times h_b = 7.5 \times 6.98 \approx 52.35 \text{ дм}^2 \]
На четырех боковых гранях сумма:
\[ S_{бок.} = 4 \times 52.35 \approx 209.4 \text{ дм}^2 \]
Шаг 7. Площадь оснований
- Нижнее основание:
\[ S_{осн.2} = a \times a = 8 \times 8 = 64 \text{ дм}^2 \] - Верхнее основание:
\[ S_{осн.1} = a' \times a' = 7 \times 7 = 49 \text{ дм}^2 \]
Ответ:
- Площадь боковой поверхности: примерно 209.4 дм²
- Площадь полной поверхности: сумма площадей оснований и боковых поверхностей:
\[ S_{полн} = S_{осн.2} + S_{осн.1} + S_{бок.} = 64 + 49 + 209.4 = \boxed{322.4 \text{ дм}^2} \]
Если нужны дополнительные пояснения или расчеты, обращайтесь!
