Вычислите площадь боковой и полной поверхностей правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если стороны оснований равны 7 дм и 8 дм, а апофема равна 7 дм.

Давайте пошагово решим задачу по вычислению площади боковой и полной поверхности правильной усеченной четырехугольной пирамиды. **Дано:** - Длины оснований: верхнее — 7 дм, нижнее — 8 дм - Апофема ( наклонная ребро боковой поверхности): 7 дм --- ### Шаг 1. Визуализация и понятия Правильная усеченная четырёхугольная пирамида — это фигура, у которой: - основание — правильный четырёхугольник с длинами сторон 8 дм - верхнее основание — тоже правильный четырёхугольник с длинами сторон 7 дм - боковые грани — трапеции, потому что основания параллельны, а пирамиду “усекли” горизонтально. --- ### Шаг 2. Найти высоту боковых граней (апофему) Апофема — это наклонный рёбро боковой поверхности от вершины боковой грани до основания. Дано: апофема \( s = 7 \text{ дм} \). Итак, апофема — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где: - один катет — высота боковой грани (h_side) - другой катет — половина разницы длин оснований или отрезки, связывающие вершины оснований. --- ### Шаг 3. Вспомогательные расчёты: высоты оснований Обозначим: - \( a = 8 \text{ дм} \) — длина нижнего основания - \( a' = 7 \text{ дм} \) — длина верхнего основания К Вершинам нижнего и верхнего основания — все точки расположены симметрично относительно центральной оси. ### Шаг 4. Расчет длины средней линии основания Длина средней линии — это среднее арифметическое двух оснований: \[ m = \frac{a + a'}{2} = \frac{8 + 7}{2} = 7.5 \text{ дм} \] --- ### Шаг 5. Расчет высоты боковых граней \( h_{b} \) Используем право- треугольник: апофема — гипотенуза, а катет — разница радиусов оснований, деленная пополам: \[ \Delta = \frac{a - a'}{2} = \frac{8 - 7}{2} = 0.5 \text{ дм} \] Чтобы найти высоту боковой гранки: \[ h_b = \sqrt{s^2 - \Delta^2} = \sqrt{7^2 - 0.5^2} = \sqrt{49 - 0.25} = \sqrt{48.75} \approx 6.98 \text{ дм} \] **Это — высота боковой плоскости (наклонная от вершины боковой грани к основанию).** --- ### Шаг 6. Площадь боковых поверхностей трапеций Площадь каждой трапеции равна: \[ S_{бок.} = \text{средняя линия} \times высота боковой грани \] Средняя линия трапеции получается как: \[ m_{трапеции} = \frac{a + a'}{2} = 7.5 \text{ дм} \] Высота трапеции — это высота боковой грани \( h_b \): \[ S_{конд.} = m \times h_b = 7.5 \times 6.98 \approx 52.35 \text{ дм}^2 \] На четырех боковых гранях сумма: \[ S_{бок.} = 4 \times 52.35 \approx 209.4 \text{ дм}^2 \] --- ### Шаг 7. Площадь оснований - Нижнее основание: \[ S_{осн.2} = a \times a = 8 \times 8 = 64 \text{ дм}^2 \] - Верхнее основание: \[ S_{осн.1} = a' \times a' = 7 \times 7 = 49 \text{ дм}^2 \] --- ### **Ответ:** - **Площадь боковой поверхности:** примерно **209.4 дм²** - **Площадь полной поверхности:** сумма площадей оснований и боковых поверхностей: \[ S_{полн} = S_{осн.2} + S_{осн.1} + S_{бок.} = 64 + 49 + 209.4 = \boxed{322.4 \text{ дм}^2} \] --- Если нужны дополнительные пояснения или расчеты, обращайтесь!