Сократи дробь. m m − 8 n n m m + 4 n m + 2 m n m m +4n m +2m n m m −8n n Запиши в ответ удвоенный квадрат полученного знаменателя.
Давайте шаг за шагом решим задачу по сокращению дроби и вычислению удвоенного квадрата знаменателя.
Шаг 1. Записать исходную дробь
Имеется дробь:
\[ \frac{m}{m - 8n} \div \frac{n m + 4 n + 2 m}{m} \]
или, что то же самое,
\[ \frac{m}{m - 8n} \div \frac{n m + 4 n + 2 m}{m} \]
Шаг 2. Замена деления на умножение
Деление дробей выполняется умножением на обратную:
\[ \frac{m}{m - 8n} \times \frac{m}{n m + 4 n + 2 m} \]
Шаг 3. Записать полученное произведение
Теперь у нас есть:
\[ \frac{m \times m}{(m - 8n) \times (n m + 4 n + 2 m)} \]
или
\[ \frac{m^2}{(m - 8n)(n m + 4 n + 2 m)} \]
Шаг 4. Упростить знаменатель
Внимательно рассмотрим выражение \(n m + 4 n + 2 m\). Постараемся его факторизовать.
Объединим слагаемые:
\[ n m + 4 n + 2 m \]
Попробуем сгруппировать:
\[ n m + 2 m + 4 n \]
Вынесем общий множитель из первых двух слагаемых:
\[ m(n + 2) + 4 n \]
Здесь ещё можно попытаться факторизовать, посмотрим, есть ли общий множитель.
Шаг 5. Раскроем скобки или попробуем дополнительно факторизовать
Давайте попробуем выразить \(n m + 4 n + 2 m\) через разложение.
Перепишем:
\[ n m + 4 n + 2 m = n m + 2 m + 4 n \]
Вынесем \(m\) из первых двух членов:
\[ m(n + 2) + 4 n \]
И теперь — чтобы упростить этот выражение дальше, попробуем его преобразовать или оставить так.
Шаг 6. Итоговая формула для знаменателя
Знаменатель — это произведение:
\[ (m - 8n) \times (n m + 4 n + 2 m) \]
Поскольку факторизовать полностью я не вижу очевидных способов, оставим выражение в таком виде.
Шаг 7. Итоговая ответная дробь
Общая сокращенная форма равна:
\[ \frac{m^2}{(m - 8n)(n m + 4 n + 2 m)} \]
Шаг 8. В ответе нужно записать удвоенный квадрат полученного знаменателя
Знаменатель — это:
\[ (m - 8n)(n m + 4 n + 2 m) \]
Квадрат этого выражения:
\[ [(m - 8n)(n m + 4 n + 2 m)]^2 \]
Удвоенный квадрат:
\[ 2 \times [(m - 8n)(n m + 4 n + 2 m)]^2 \]
Итоговая формула
Ответ:
\[ 2 \times (m - 8n)^2 \times (n m + 4 n + 2 m)^2 \]
или в более компактной форме:
\[ 2 \left[(m - 8n)^2 (n m + 4 n + 2 m)^2\right] \]
Если нужно, я могу помочь с более конкретным примером или упрощением!
