Давайте решим задачу: избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
[
\frac{5}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}
]
Шаг 1: Анализ задачи
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно «распространить» знаменатель умножением на его сопряжённое выражение, то есть на (\sqrt{8} + \sqrt{3}). Это стандартный приём — так называемое «рационализирование» знаменателя.
Шаг 2: Запишем умножение на сопряжённое
Запишем дробь, умножив числитель и знаменатель на (\sqrt{8} + \sqrt{3}):
[
\frac{5}{\sqrt{8} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{8} + \sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{3}} = \frac{5 (\sqrt{8} + \sqrt{3})}{(\sqrt{8} - \sqrt{3})(\sqrt{8} + \sqrt{3})}
]
Шаг 3: Применим разложение разности квадратов в знаменателе
Разность квадратов:
[
(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{3})^2 = 8 - 3 = 5
]
Значит знаменатель упрощается до 5.
Шаг 4: Запишем результат
Теперь:
[
\frac{5 (\sqrt{8} + \sqrt{3})}{5}
]
Это можно упростить, сократив числитель и знаменатель на 5:
[
\sqrt{8} + \sqrt{3}
]
Шаг 5: Приведение к более простому виду
Выразим (\sqrt{8}) через более простое число:
[
\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}
]
Итак, окончательный ответ:
[
2 \sqrt{2} + \sqrt{3}
]
Полный ответ: (\boxed{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}})
