В окружности радиуса 10 см проведен диаметр и на нем взята точка А на расстоянии 5 см от центра. найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. К задаче постройте рисунок, запишите дано, решение с пояснением

Конечно, я помогу вам разобраться с этой задачей. Разобьем ее решение на шаги и подробно поясним логические шаги и геометрические свойства. --- ### Построение и запись условия 1. **Рисунок задачи**: - Нарисуйте окружность с радиусом \( R = 10 \) см. - Проведите диаметр \( AB \) этой окружности. - Обозначьте центр окружности как \( O \). - На диаметре \( AB \) выберите точку \( A \), которая находится на расстоянии 5 см от центра \( O \). Так как \( O \) — центр, а \( A \) расположена на диаметре, то: - \( OA = 5 \) см (дано). - Полный диаметр \( AB \) равен 20 см, так как радиус 10 см. 2. **Что известно:** - Радиус исходной окружности \( R = 10 \) см. - Точка \( A \) лежит на диаметре и удалена от центра на 5 см. - Точка \( A \) находится на диаметре, и по условию, на нем взята точка \( A \), которая лежит на расстоянии 5 см от центра. 3. **Ищем:** - Радиус \( r \) второй окружности, которая: - касается диаметра в точке \( A \). - изнутри касается исходной окружности. --- ### Решение задачи #### Шаг 1. Построение вспомогательных элементов - Обозначим: - Центр исходной окружности как \( O \). - Центр искомой окружности как \( O' \). - Точка касания второй окружности с диаметром — это точка \( A \). Так как в условии говорится, что вторая окружность касается диаметра в точке \( A \), то: \[ \text{Центр второй окружности } O' \text{ лежит на перпендикулярной линии к диаметру в точке } A. \] - По условию, вторая окружность касается исходной изнутри. Значит, её центр \( O' \) находится внутри исходной окружности. #### Шаг 2. Расположение центров и радиусов - Радиус исходной окружности: \( R = 10 \) см. - Точка \( A \) на диаметре находится на расстоянии 5 см от центра \( O \), значит: \[ OA = 5 \text{ см}. \] - Вторая окружность касается точки \( A \) и изнутри касается исходной — это значит, что её радиус \( r \) и её центр \( O' \) лежит в области внутри исходной окружности. - Центр \( O' \) лежит где-то на линии, перпендикулярной диаметру \( AB \), проходящей через точку \( A \), так как касательная в точке \( A \) к второй окружности — это касательная к окружности в точке \( A \). --- ### Шаг 3. Использование геометрических свойств - Центр второй окружности \( O' \) лежит на линии, проходящей через \( A \), и перпендикулярной диаметру \( AB \). Пусть эта линия — это вертикальная линия через \( A \). - Расстояние от \( O' \) до \( A \) равно радиусу второй окружности \( r \): \[ O'A = r. \] - Расстояние от \( O' \) до центра исходной окружности \( O \) равно \( R - r \), так как вторая окружность внутри исходной и касается её изнутри. --- ### Шаг 4. Запишем уравнения - Расстояние между центрами \( O \) и \( O' \): \[ OO' = R - r = 10 - r. \] - Центр \( O' \) находится на линии, перпендикулярной диаметру \( AB \), проходящей через \( A \). Значит: \[ AO' = r, \] где \( \(AO' \) — расстояние от точки \( A \) до центра \( O' \). - Поскольку \( A \) — точка касания, то: \[ AO' = r. \] - Кроме того, \( O' \) расположен на той же линии, что и \( A \). Тогда \( O' \) находится на расстоянии \( r \) от \( A \): \[ AO' = r. \] --- ### Шаг 5. Выражение \( O'O \) через \( R \) и \( r \) - Расстояние \( OO' \): \[ OO' = R - r = 10 - r. \] - Расстояние \( AO \): \[ AO = 5. \] - Расстояние \( AO' \): \[ AO' = \text{расстояние между } A \text{ и } O'} = r, \] так как \( O' \) — центр второй окружности, а \( A \) — точка касания. - Центр \( O' \) находится по направлению перпендикулярно диаметру, то есть по вертикали или горизонтали. Пусть \( A \) — это точка \( (5, 0) \) по координатной сетке, где \( O \) — центр в точке \( (0, 0) \). - Тогда, так как \( A \) на оси \( x \): \[ A = (5, 0). \] - Центр \( O' \) находится по той же оси, при этом на расстоянии \( r \) от \( A \), значит: \[ O' = (5 + r, 0), \] или \[ O' = (5 - r, 0), \] эмпирически, без потери общей идеи, выберем \( O' = (5 + r, 0) \). - Тогда расстояние между \( O \) и \( O' \): \[ OO' = |(5 + r) - 0| = 5 + r. \] Но по условию: \[ OO' = 10 - r, \] то есть: \[ 5 + r = 10 - r. \] --- ### Шаг 6. Решение уравнения и нахождение радиуса \( r \) Из уравнения: \[ 5 + r = 10 - r, \] следовательно: \[ r + r = 10 - 5, \] \[ 2r = 5, \] \[ r = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}. \] --- ### **Ответ:** **Радиус второй окружности равен \(\boxed{2.5 \text{ см}}\).** --- Если потребуется, я могу помочь вам составить рисунок или пояснить шаги более подробно.