Рассмотрим задачу по шагам:
Дано:
- Общее число волонтеров: 40 человек
- Девочек: 15 человек
- Мальчиков: 40 - 15 = 25 человек
- Выбирается группа из 4 человек (жребий)
Задача: Найти вероятность того, что все 4 выбранных человека — мальчики.
Шаг 1: Общее число способов выбрать 4 человек из 40
Это число комбинаций, то есть число способов выбрать любую группу из 4 человек из 40:
[
C_{40}^4 = \frac{40!}{4! \times 36!}
]
Шаг 2: Число способов выбрать 4 мальчиков из 25
Чтобы все выбранные — мальчики, нужно выбрать 4 человека из 25 мальчиков:
[
C_{25}^4 = \frac{25!}{4! \times 21!}
]
Шаг 3: Вычисление вероятности
Вероятность того, что все выбранные — мальчики:
[
P = \frac{\text{число благоприятных вариантов}}{\text{общее число вариантов}} = \frac{C_{25}^4}{C_{40}^4}
]
Шаг 4: Подставляем значения
Вычислим это подробно:
[
C_{25}^4 = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{24} = \frac{25 \times 23 \times 22}{1} = 25 \times 23 \times 22
]
Обчислим:
[
25 \times 23 = 575 \
575 \times 22 = 12,650
]
Итак,
[
C_{25}^4 = 12,650
]
Теперь вычислим (C_{40}^4):
[
C_{40}^4 = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37}{24}
]
Посчитаем числитель:
[
40 \times 39 = 1560 \
1560 \times 38 = 59,280 \
59,280 \times 37 = 2,191,360
]
Делим на 24:
[
\frac{2,191,360}{24} = \frac{2,191,360}{24} = 91,307
]
(подробнее: 24 * 91,307 = 2,191,360)
Шаг 5: Итоговая вероятность
[
P = \frac{12,650}{91,307} \approx 0,1385
]
или примерно 13,85%.
Итог:
Ответ: вероятность того, что все 4 выбранных человека — мальчики, составляет примерно 13,85%.
