Треугольник ABC имеет прямой угол �=90∘C=90​∘​​, AC = 5, cos�=45cosA=​5​​4​​. Найдите высоту CH.

Давайте разберём задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти высоту CH в треугольнике ABC с прямым углом при C, при условии, что AC = 5 и cosA = 4/5. --- ### Шаг 1. Анализ условий задачи - Треугольник ABC прямой, и угол C = 90°. - Тогда стороны, связанные с углом C, — это AC, BC и гипотенуза AB. - Дано: AC = 5. - Дано: cos A = 4/5. --- ### Шаг 2. Что такое угол A и косинус? Угол А — это угол при вершине A, и его косинус равен отношению прилежащего катета к гипотене (если смотреть с точки зрения угла А). Обозначим стороны: - AB — гипотенуза (наиболее длинная сторона, против угла C). - AC — прилежащий катет к углу A. - BC — противолежащий катет к углу A. Поскольку угол C 90°, то: - AB — гипотенуза. - AC и BC — катеты. --- ### Шаг 3. Используем информацию о косинусе для уголa A Косинус угла A — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \] Дано: \(\cos A = \frac{4}{5}\) Из этого следует: \[ AC = \frac{4}{5} \cdot AB \] Но AC известно — 5, тогда: \[ 5 = \frac{4}{5} \cdot AB \] Чтобы найти AB: \[ AB = \frac{5 \times 5}{4} = \frac{25}{4} = 6.25 \] --- ### Шаг 4. Находим другие стороны треугольника Теперь, знаю что: - гипотенуза \(AB = 6.25\), - прилежащий к углу A катет \(AC = 5\). Треугольник ABC — прямоугольный и по теореме Пифагора для катетов BC и AC: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ (6.25)^2 = 5^2 + BC^2 \] \[ 39.0625 = 25 + BC^2 \] \[ BC^2 = 39.0625 - 25 = 14.0625 \] \[ BC = \sqrt{14.0625} = 3.75 \] --- ### Шаг 5. Находим высоту CH - Высота CH опущена из вершины C на гипотенузу AB. - В треугольнике ABC высота, проведённая из прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка. Важное свойство: \[ CH = \frac{AC \times BC}{AB} \] Это простая формула для высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной из прямого угла на гипотенузу. Подставим значения: \[ CH = \frac{5 \times 3.75}{6.25} = \frac{18.75}{6.25} \] Посчитаем: \[ CH = 3 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{CH = 3} \] --- Если нужно, могу дать дополнительные объяснения!