Треугольник ABC имеет прямой угол �=90∘C=90∘, AC = 5, cos�=45cosA=54. Найдите высоту CH.
Давайте разберём задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти высоту CH в треугольнике ABC с прямым углом при C, при условии, что AC = 5 и cosA = 4/5.
Шаг 1. Анализ условий задачи
- Треугольник ABC прямой, и угол C = 90°.
- Тогда стороны, связанные с углом C, — это AC, BC и гипотенуза AB.
- Дано: AC = 5.
- Дано: cos A = 4/5.
Шаг 2. Что такое угол A и косинус?
Угол А — это угол при вершине A, и его косинус равен отношению прилежащего катета к гипотене (если смотреть с точки зрения угла А).
Обозначим стороны:
- AB — гипотенуза (наиболее длинная сторона, против угла C).
- AC — прилежащий катет к углу A.
- BC — противолежащий катет к углу A.
Поскольку угол C 90°, то:
- AB — гипотенуза.
- AC и BC — катеты.
Шаг 3. Используем информацию о косинусе для уголa A
Косинус угла A — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \] Дано: \(\cos A = \frac{4}{5}\)
Из этого следует: \[ AC = \frac{4}{5} \cdot AB \]
Но AC известно — 5, тогда: \[ 5 = \frac{4}{5} \cdot AB \]
Чтобы найти AB: \[ AB = \frac{5 \times 5}{4} = \frac{25}{4} = 6.25 \]
Шаг 4. Находим другие стороны треугольника
Теперь, знаю что:
- гипотенуза \(AB = 6.25\),
- прилежащий к углу A катет \(AC = 5\).
Треугольник ABC — прямоугольный и по теореме Пифагора для катетов BC и AC: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ (6.25)^2 = 5^2 + BC^2 \] \[ 39.0625 = 25 + BC^2 \] \[ BC^2 = 39.0625 - 25 = 14.0625 \] \[ BC = \sqrt{14.0625} = 3.75 \]
Шаг 5. Находим высоту CH
- Высота CH опущена из вершины C на гипотенузу AB.
- В треугольнике ABC высота, проведённая из прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка.
Важное свойство: \[ CH = \frac{AC \times BC}{AB} \]
Это простая формула для высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной из прямого угла на гипотенузу.
Подставим значения: \[ CH = \frac{5 \times 3.75}{6.25} = \frac{18.75}{6.25} \]
Посчитаем: \[ CH = 3 \]
Ответ:
\[ \boxed{CH = 3} \]
Если нужно, могу дать дополнительные объяснения!
