Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с центром O в точке B. Найдите градусную меру меньшего угла треугольника AOB , если один из его углов равен 64.

Давайте подробно решим задачу. **Дано:** - Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с центром O в точке B. - В треугольнике AOB один из углов равен 64°, необходимо найти градусную меру меньшего угла треугольника AOB. --- ### Шаг 1: Анализ условий задачи - Окружность с центром O и точкой касания B. - Прямая, проходящая через A, касается окружности в точке B. Значит: - B — точка касания, принадлежащая окружности. - Прямая, проходящая через A, является касательной к окружности в точке B. - Uчитывая, что касательная в точке B, то радиус OB перпендикулярен касательной в точке касания. ### Шаг 2: Важные свойства касательной и радиуса - В точке касания B радиус OB перпендикулярен касательной. Следовательно: \[ \angle O B \text{(между } O B \text{ и касательной)} = 90^\circ \] - Так как точка B — точка касания, то: - O — центр окружности - A — точка, через которую проходит касательная, соединенная с O --- ### Шаг 3: Построение треугольника AOB - У нас есть треугольник AOB. - Очевидно, что: - OB — радиус окружности. - А — точка вне окружности (или внутри, зависит от положения A). - Так как прямая, проходящая через A, касается окружности в B, то: - Бонус: угол \(\angle O B A\) равен 90°, так как радиус к точке касания перпендикулярен касательной. **Обратим внимание:** - В треугольнике AOB, если соединить точки A, B, O, то: - OB — радиус (по условию). - \(\angle OBA = 90^\circ\). --- ### Шаг 4: Рассмотрение углов треугольника Обозначим: - \(\angle AOB = \theta\) — искомый меньший угол треугольника AOB - \(\angle OAB = \alpha\) - \(\angle OBA = 90^\circ\) (по свойству касательной и радиуса). Известно, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, поэтому: \[ \alpha + \theta + 90^\circ = 180^\circ \] \[ \alpha + \theta = 90^\circ \] Значит: \[ \alpha = 90^\circ - \theta \] --- ### Шаг 5: Использование данных о углах в треугольнике В задаче указано, что один из углов равен 64°. Посмотрим, где может находиться этот угол: - **Вариант 1:** угол равен 64° — это \(\angle AOB\). Тогда: \[ \theta = 64^\circ \] и следующее: \[ \alpha = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ \] Проверим сумму углов: \[ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 64^\circ + 26^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] все верно. - **Вариант 2:** угол равен 64°, это \(\angle OAB\). Тогда: \[ \alpha = 64^\circ \] а \(\theta = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ\) проверим сумму: \[ \theta + \alpha + 90^\circ = 26^\circ + 64^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] – тоже верно. --- ### **Ответ:** В обоих случаях **меньший угол треугольника AOB равен 26° или 64°,** в зависимости от того, какая из сторон или углов соответствует условию. Но по условию, что один из углов равен 64°, и рассуждая о стандартной задаче, обычно подразумевается, что искомый меньший угол — это **26°**, так как он получается из дополняющих углов. ### **Итог:** **Меньшая мера угла треугольника AOB, если один из его углов равен 64°, — это 26°.**