Составить производную функции y = √3x √ - 5 в точке x = 3.

Для составления производной функции \( y = \sqrt{3x} \cdot \sqrt{-5} \) в точке \( x = 3 \), нам необходимо использовать правило производной произведения функций. Начнем с выражения функции в более удобном виде: \[ y = \sqrt{3x} \cdot \sqrt{-5} = \sqrt{3x} \cdot i \sqrt{5} = i\sqrt{15x} \] Где \( i \) - мнимая единица. Теперь продифференцируем \( y \) по переменной \( x \) при помощи правила производной произведения: \[ \frac{dy}{dx} = i \frac{d}{dx}(\sqrt{15x}) \] Дифференцируя \( \sqrt{15x} \) по переменной \( x \), получаем: \[ \frac{dy}{dx} = i \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{\sqrt{15x}} = \frac{i \cdot 15}{2 \sqrt{15x}} \] Теперь, чтобы найти значение производной в точке \( x = 3 \), мы подставляем \( x = 3 \) в выражение для производной: \[ \frac{dy}{dx}\rvert_{x=3} = \frac{i \cdot 15}{2 \sqrt{15 \cdot 3}} = \frac{i \cdot 15}{2 \sqrt{45}} = \frac{i \cdot 15}{2 \cdot 3 \sqrt{5}} = \frac{5i}{\sqrt{5}} = 5i \] Итак, производная функции \( y = \sqrt{3x} \cdot \sqrt{-5} \) в точке \( x = 3 \) равна \( 5i \).