Давайте подробно разберем данное выражение и вычислим его при ( a = \sqrt{10} ).
Выражение:
[
\frac{3(2a^3)^2}{a^3 a^5}
]
Шаг 1: Упростим числитель
Числитель: ( 3(2a^3)^2 )
- Внутри скобок: ( 2a^3 )
- Возводим в квадрат: ( (2a^3)^2 )
Используем свойство степени:
[
(2a^3)^2 = 2^2 \times (a^3)^2 = 4 \times a^{6}
]
Теперь числитель:
[
3 \times 4 \times a^{6} = 12a^{6}
]
Шаг 2: Упростим знаменатель
Знаменатель: ( a^3 a^5 )
При делении с одинаковыми основаниями:
[
a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^{8}
]
Шаг 3: Итоговое выражение
Теперь всю дробь:
[
\frac{12 a^{6}}{a^{8}}
]
При делении с одинаковыми основаниями:
[
\frac{a^{6}}{a^{8}} = a^{6 - 8} = a^{-2}
]
Следовательно, выражение:
[
12 a^{-2}
]
Шаг 4: Подставим ( a = \sqrt{10} )
Значит,
[
a = \sqrt{10} \implies a^{-2} = (\sqrt{10})^{-2}
]
Используем свойства степеней:
[
(\sqrt{10})^{-2} = \left(10^{1/2}\right)^{-2} = 10^{(1/2) \times (-2)} = 10^{-1} = \frac{1}{10}
]
Шаг 5: Итоговое значение
Подставляя:
[
12 \times \frac{1}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{6}{5}}
]
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какой-либо шаг — скажи!
