Решить уравнение
Давайте решим уравнение:
\[ y' + \frac{x}{1 - x^2} y = \frac{1}{1 - x^2} \]
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы его решить, воспользуемся методом интегрирующего множителя.
Шаг 1. Запишем уравнение в стандартном виде:
\[ y' + P(x) y = Q(x), \] где \[ P(x) = \frac{x}{1 - x^2}, \quad Q(x) = \frac{1}{1 - x^2}. \]
Шаг 2. Найдём интегрирующий множитель \( \mu(x) \):
\[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1 - x^2} dx}. \]
Рассмотрим интеграл:
\[ \int \frac{x}{1 - x^2} dx. \]
Это интеграл по частям, или заметим, что:
\[ \int \frac{x}{1 - x^2} dx = - \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| + C, \] так как производная \( - \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| \) равна:
\[ \frac{d}{dx} \left( - \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| \right) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x^2} \cdot (-2x) = \frac{x}{1 - x^2}. \]
Следовательно,
\[ \mu(x) = e^{ - \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| } = |1 - x^2|^{ - 1/2 }. \]
Можно опустить абсолютное значение, предполагая области определения, где \( 1 - x^2 > 0 \):
\[ \mu(x) = (1 - x^2)^{ - 1/2 }. \]
Шаг 3. Умножим уравнение на \( \mu(x) \):
\[ (1 - x^2)^{ - 1/2 } y' + (1 - x^2)^{ - 1/2 } \frac{x}{1 - x^2} y = (1 - x^2)^{ - 1/2 } \frac{1}{1 - x^2}. \]
Это можно переписать как:
\[ \frac{d}{dx} \left( (1 - x^2)^{ - 1/2 } y \right) = (1 - x^2)^{ - 3/2 }. \]
Шаг 4. Интегрируем обе части:
\[ (1 - x^2)^{ - 1/2 } y = \int (1 - x^2)^{ - 3/2 } dx + C. \]
Найдем интеграл:
\[ \int (1 - x^2)^{ - 3/2 } dx. \]
Это стандартный интеграл:
\[ \int \frac{dx}{(1 - x^2)^{ 3/2 }}. \]
Известно, что:
\[ \int \frac{dx}{(1 - x^2)^{ 3/2 }} = \frac{x}{|1 - x^2|^{ 1/2 }} + C, \] или при \( 1 - x^2 > 0 \):
\[ \int \frac{dx}{(1 - x^2)^{ 3/2 }} = \frac{x}{(1 - x^2)^{ 1/2 }} + C. \]
Шаг 5. Получаем окончательное решение:
\[ (1 - x^2)^{ - 1/2 } y = \frac{x}{(1 - x^2)^{ 1/2 }} + C, \] или
\[ \frac{y}{(1 - x^2)^{ 1/2 }} = \frac{x}{(1 - x^2)^{ 1/2 }} + C, \] откуда
\[ y = x + C (1 - x^2)^{ 1/2 }. \]
Итог:
\[ \boxed{ y(x) = x + C \sqrt{1 - x^2}, } \] где \( C \) — произвольная константа.
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
