Решить уравнение

Давайте решим уравнение: \[ y' + \frac{x}{1 - x^2} y = \frac{1}{1 - x^2} \] Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы его решить, воспользуемся методом интегрирующего множителя. ### Шаг 1. Запишем уравнение в стандартном виде: \[ y' + P(x) y = Q(x), \] где \[ P(x) = \frac{x}{1 - x^2}, \quad Q(x) = \frac{1}{1 - x^2}. \] ### Шаг 2. Найдём интегрирующий множитель \( \mu(x) \): \[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1 - x^2} dx}. \] Рассмотрим интеграл: \[ \int \frac{x}{1 - x^2} dx. \] Это интеграл по частям, или заметим, что: \[ \int \frac{x}{1 - x^2} dx = - \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| + C, \] так как производная \( - \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| \) равна: \[ \frac{d}{dx} \left( - \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| \right) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x^2} \cdot (-2x) = \frac{x}{1 - x^2}. \] Следовательно, \[ \mu(x) = e^{ - \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| } = |1 - x^2|^{ - 1/2 }. \] Можно опустить абсолютное значение, предполагая области определения, где \( 1 - x^2 > 0 \): \[ \mu(x) = (1 - x^2)^{ - 1/2 }. \] ### Шаг 3. Умножим уравнение на \( \mu(x) \): \[ (1 - x^2)^{ - 1/2 } y' + (1 - x^2)^{ - 1/2 } \frac{x}{1 - x^2} y = (1 - x^2)^{ - 1/2 } \frac{1}{1 - x^2}. \] Это можно переписать как: \[ \frac{d}{dx} \left( (1 - x^2)^{ - 1/2 } y \right) = (1 - x^2)^{ - 3/2 }. \] ### Шаг 4. Интегрируем обе части: \[ (1 - x^2)^{ - 1/2 } y = \int (1 - x^2)^{ - 3/2 } dx + C. \] Найдем интеграл: \[ \int (1 - x^2)^{ - 3/2 } dx. \] Это стандартный интеграл: \[ \int \frac{dx}{(1 - x^2)^{ 3/2 }}. \] Известно, что: \[ \int \frac{dx}{(1 - x^2)^{ 3/2 }} = \frac{x}{|1 - x^2|^{ 1/2 }} + C, \] или при \( 1 - x^2 > 0 \): \[ \int \frac{dx}{(1 - x^2)^{ 3/2 }} = \frac{x}{(1 - x^2)^{ 1/2 }} + C. \] ### Шаг 5. Получаем окончательное решение: \[ (1 - x^2)^{ - 1/2 } y = \frac{x}{(1 - x^2)^{ 1/2 }} + C, \] или \[ \frac{y}{(1 - x^2)^{ 1/2 }} = \frac{x}{(1 - x^2)^{ 1/2 }} + C, \] откуда \[ y = x + C (1 - x^2)^{ 1/2 }. \] ### Итог: \[ \boxed{ y(x) = x + C \sqrt{1 - x^2}, } \] где \( C \) — произвольная константа. Это общее решение данного дифференциального уравнения.