Давайте решим задачу по шагам.
Задача:
В магазине есть:
- 17 тетрадей с изображением героев мультфильмов
- 5 тетрадей с изображением геометрических абстракций
Катя выбирает случайным образом 5 тетрадей. Нужно найти вероятность того, что среди выбранных есть хотя бы 2 тетради с героями мультфильмов.
Шаг 1: Определение общего числа способов выбора 5 тетрадей
Общее число всех способов выбрать 5 тетрадей из 22 (17 + 5):
[
C_{22}^5
]
где (C_n^k) — число сочетаний.
Шаг 2: Определение событий
Нам нужно найти вероятность события "хотя бы 2 тетрадей с героями мультфильмов". Это можно выразить как:
[
P(\text{хотя бы 2}) = 1 - P(\text{менее 2}) = 1 - P(0) - P(1)
]
где:
- (P(0)) — вероятность, что выбранных тетрадей с героями мультфильмов нет (то есть все 5 — с абстракциями),
- (P(1)) — вероятность, что выбранно ровно одна тетрадь с героями мультфильмов.
Шаг 3: Вычисление (P(0))
- Все 5 тетрадей с абстракциями: количество способов — (C_5^5 = 1),
- остальные 0 — из 17 тетрадей с мультфильмами (например, не выбирается).
Количество способов выбрать 5 тетрадей только из абстракций:
[
C_5^5 \times C_{17}^0 = 1 \times 1 = 1
]
Общее число способов — (C_{22}^5).
Следовательно,
[
P(0) = \frac{1}{C_{22}^5}
]
Шаг 4: Вычисление (P(1))
- Выбираем 1 тетрадь с мультфильмом из 17: (C_{17}^1),
- Остальные 4 — из 5 тетрадей с абстракциями: (C_5^4).
Количество способов:
[
C_{17}^1 \times C_5^4
]
Общее число — (C_{22}^5).
Тогда
[
P(1) = \frac{C_{17}^1 \times C_5^4}{C_{22}^5}
]
Шаг 5: Итоговая формула
Вероятность, что среди выбранных есть хотя бы 2 тетрадей с героями мультфильмов:
[
P(\geq 2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - \frac{1}{C_{22}^5} - \frac{C_{17}^1 \times C_5^4}{C_{22}^5}
]
Шаг 6: Вычисляем числа сочетаний
- (C_{22}^5 = \frac{22!}{5! \times 17!} = 26,334),
- (C_{17}^1 = 17),
- (C_5^4 = 5).
Подставляем:
[
P(0) = \frac{1}{26,334}
]
[
P(1) = \frac{17 \times 5}{26,334} = \frac{85}{26,334}
]
Итог:
[
P(\geq 2) = 1 - \frac{1}{26,334} - \frac{85}{26,334} = \frac{26,334 - 1 - 85}{26,334} = \frac{26,248}{26,334}
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{26,248}{26,334} \approx 0.9968
}
]
Вероятность того, что среди выбранных 5 тетрадей есть хотя бы 2 с героями мультфильмов, очень высокая — примерно 99.68%.
