Sin 2x+2cos 2x=1

Давайте разберем уравнение: \[ \sin 2x + 2 \cos 2x = 1 \] Цель — понять решение этого уравнения. --- ### Шаг 1. Вспомним тригонометрические формулы Это уравнение содержит двойной угол. Можно воспользоваться следующими формулами: - \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\) (но здесь лучше оставить в виде \(\sin 2x\)) - \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\) или \(\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\) или \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\) Но чтобы упростить решение, лучше оставить его в виде \( \sin 2x \) и \( \cos 2x \). --- ### Шаг 2. Преобразуем уравнение Оно выглядит так: \[ \sin 2x + 2 \cos 2x = 1 \] Чтобы оно было удобнее, воспользуемся выражением вида: \[ A \sin 2x + B \cos 2x = C \] где \(A=1\), \(B=2\), \(C=1\). --- ### Шаг 3. Решение уравнения в виде линейной комбинации Преобразуем уравнение с помощью следующей идеи: Это уравнение вида: \[ A \sin \theta + B \cos \theta = D \] Решаются они с помощью формулы: \[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \] И далее: \[ A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin (\theta + \alpha) \] где \( \alpha \) — угол, для которого: \[ \cos \alpha = \frac{A}{R} \] \[ \sin \alpha = \frac{B}{R} \] --- ### Шаг 4. Вычислим \( R \) и \( \alpha \) \[ R = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Теперь определим \( \alpha \): \[ \cos \alpha = \frac{A}{R} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Значит, уравнение можно переписать так: \[ \sqrt{5} \sin (2x + \alpha) = 1 \] Следовательно: \[ \sin (2x + \alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} \] --- ### Шаг 5. Решаем полученное уравнение \[ 2x + \alpha = \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x + \alpha = \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\pi n \] где \( n \in \mathbb{Z} \). Теперь найдём \( x \): \[ 2x = -\alpha + \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\pi n \] или \[ 2x = -\alpha + \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\pi n \] Итак, \[ x = \frac{-\alpha + \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} + \pi n \] или \[ x = \frac{-\alpha + \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} + \pi n \] где \[ \alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{5}} \] --- ### Итог: **Общий вид решений:** \[ x = \frac{-\arccos \frac{1}{\sqrt{5}} + \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} + \pi n \] или \[ x = \frac{-\arccos \frac{1}{\sqrt{5}} + \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] --- Если нужно более точное числовое значение, его можно найти, подставив числа в формулы. --- Если желание — более наглядное решение или есть дополнительные вопросы, скажи!