sin 2x+2cos 2x=1
Давайте разберем уравнение:
\[ \sin 2x + 2 \cos 2x = 1 \]
Цель — понять решение этого уравнения.
Шаг 1. Вспомним тригонометрические формулы
Это уравнение содержит двойной угол. Можно воспользоваться следующими формулами:
- \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\) (но здесь лучше оставить в виде \(\sin 2x\))
- \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\) или \(\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\) или \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\)
Но чтобы упростить решение, лучше оставить его в виде \( \sin 2x \) и \( \cos 2x \).
Шаг 2. Преобразуем уравнение
Оно выглядит так:
\[ \sin 2x + 2 \cos 2x = 1 \]
Чтобы оно было удобнее, воспользуемся выражением вида:
\[ A \sin 2x + B \cos 2x = C \]
где \(A=1\), \(B=2\), \(C=1\).
Шаг 3. Решение уравнения в виде линейной комбинации
Преобразуем уравнение с помощью следующей идеи:
Это уравнение вида:
\[ A \sin \theta + B \cos \theta = D \]
Решаются они с помощью формулы:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
И далее:
\[ A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin (\theta + \alpha) \]
где \( \alpha \) — угол, для которого:
\[ \cos \alpha = \frac{A}{R} \]
\[ \sin \alpha = \frac{B}{R} \]
Шаг 4. Вычислим \( R \) и \( \alpha \)
\[ R = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]
Теперь определим \( \alpha \):
\[ \cos \alpha = \frac{A}{R} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
\[ \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
Значит, уравнение можно переписать так:
\[ \sqrt{5} \sin (2x + \alpha) = 1 \]
Следовательно:
\[ \sin (2x + \alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Шаг 5. Решаем полученное уравнение
\[ 2x + \alpha = \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x + \alpha = \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\pi n \]
где \( n \in \mathbb{Z} \).
Теперь найдём \( x \):
\[ 2x = -\alpha + \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\pi n \] или \[ 2x = -\alpha + \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\pi n \]
Итак,
\[ x = \frac{-\alpha + \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} + \pi n \] или \[ x = \frac{-\alpha + \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} + \pi n \]
где \[ \alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Итог:
Общий вид решений:
\[ x = \frac{-\arccos \frac{1}{\sqrt{5}} + \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} + \pi n \] или \[ x = \frac{-\arccos \frac{1}{\sqrt{5}} + \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Если нужно более точное числовое значение, его можно найти, подставив числа в формулы.
Если желание — более наглядное решение или есть дополнительные вопросы, скажи!
