Давайте разберёмся с задачей по шагам.
Дано:
- Сторона ромба ( a = 5 )
- Диагональ ромба ( d_1 = 6 )
Нам нужно найти площадь ромба ( S ).
Шаг 1: Свойства ромба
- Все стороны равны: ( AB = BC = CD = DA = 5 )
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, делят друг друга пополам и являются биссектрисами.
Обозначим диагонали как ( d_1 = 6 ) и ( d_2 ) — вторую диагональ, которую нам нужно найти.
Шаг 2: Связь между сторонами и диагоналями
В ромбе диагонали делят друг друга пополам и образуют четыре прямых треугольника, в каждом из которых:
- Катеты: половины диагоналей ( \frac{d_1}{2} ), ( \frac{d_2}{2} )
- Гипотенуза: сторона ромба ( a )
Поскольку диагонали перпендикулярны, можно применить теорему Пифагора к одному из образовавшихся треугольников.
Шаг 3: Вычислим половину диагонали
[
\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3
]
Обозначим половину второй диагонали как ( x = \frac{d_2}{2} ).
Тогда по теореме Пифагора:
[
a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
]
Подставим известные значения:
[
5^2 = 3^2 + x^2
]
[
25 = 9 + x^2
]
[
x^2 = 25 - 9 = 16
]
[
x = \sqrt{16} = 4
]
Значит, вторая диагональ равна:
[
d_2 = 2x = 2 \times 4 = 8
]
Шаг 4: Находим площадь ромба
Площадь ромба вычисляется по формуле через диагонали:
[
S = \frac{d_1 \times d_2}{2}
]
Подставим значения:
[
S = \frac{6 \times 8}{2} = \frac{48}{2} = 24
]
Итог:
Площадь ромба равна (\boxed{24}).
