В соревнованиях по плаванию участвуют спортсмены из Германии 7 чел., спортсмены из Италии 10 чел., спортсмены из России 12 чел. и спортсмены из Китая 8 чел. Порядок выступления…

Рассмотрим задачу: у нас есть 4 группы спортсменов из разных стран с разным количеством участников:

• Германия: 7 человек
• Италия: 10 человек
• Россия: 12 человек
• Китай: 8 человек

Общее число спортсменов: \( 7 + 10 + 12 + 8 = 37 \).

Задача — найти вероятность того, что спортсмен из Италии, например, спортсмен № (предположим, любой конкретный спортсмен из Италии), будет выступать первым, вторым или третьим.

Шаг 1: Общее число возможных вариантов выступлений
Т.к. порядок выступлений важен, то всего возможных последовательностей выставления спортсменов равно числу перестановок 37 человек:
\[ N_{всего} = 37! \]

Но нас интересует событие, при котором один конкретный спортсмен из Италии стоит в первых трёх местах.

Шаг 2: Вероятность того, что конкретный итальянский спортсмен занимает одну из первых трёх позиций

Давайте обозначим этого спортсмена как "спортсмен № из Италии".

• Количество способов выбрать место для этого конкретного спортсмена в первых трёх — это 3 варианта: 1-е, 2-е или 3-е место.
• После выбора места для этого спортсмена, оставшиеся 36 спортсменов можно расставить на оставшихся 36 позиций на любом порядке: \(36!\) вариантов.

Шаг 3: Подсчёт числа подходящих вариантов
Для каждого из 3 вариантов позиции спортсмена, остальные 36 спортсменов могут быть размещены любым образом. Поэтому число подходящих вариантов:
\[ N_{подходящих} = 3 \times 36! \]

Шаг 4: Общее число вариантов
Общее — это все возможные перестановки 37 человек: \(37!\).

Шаг 5: Рассчёт вероятности
Вероятность того, что конкретный итальянский спортсмен выступает первым, вторым или третьим:
\[ P = \frac{N_{подходящих}}{N_{всего}} = \frac{3 \times 36!}{37!} \]

Используем свойство факториала:
\[ 37! = 37 \times 36! \]

Тогда:
\[ P = \frac{3 \times 36!}{37 \times 36!} = \frac{3}{37} \]

Ответ:
\[ \boxed{\frac{3}{37} \approx 0,0811} \]

Это означает, что вероятность того, что один конкретный спортсмен из Италии выступит в первых трёх местах — примерно 8,11%.