Рассмотрим задачу: автобус и автомобиль выезжают навстречу друг другу из двух городов одновременно и движутся навстречу друг другу.
Обозначим:
- ( S ) — расстояние между городами.
- ( v_а ) — скорость автомобиля.
- ( v_b ) — скорость автобуса.
- Время их встречи — ( t ).
Из условия известно:
- Грузовик (автобус) за 45 минут проезжает расстояние ( S ),
- автомобиль — за 36 минут проезжает то же расстояние ( S ).
Шаг 1: Найдём скорости.
Автобус:
[
v_b = \frac{S}{45 \text{ минут}}
]
Автомобиль:
[
v_а = \frac{S}{36 \text{ минут}}
]
Шаг 2: Запишем эти значения более удобно, например, в километрах в минуту, однако конкретные значения нам не важны — важен их отношение.
Шаг 3: Определим сумму скоростей, потому что оба движутся навстречу друг другу и за время ( t ) совместного движения они пройдут расстояние ( S ):
[
v_b \times t + v_а \times t = S
]
[
(v_b + v_а) \times t = S
]
Подставляем известные выражения:
[
\left( \frac{S}{45} + \frac{S}{36} \right) \times t = S
]
Шаг 4: Вынесем ( S ) за скобки:
[
S \left( \frac{1}{45} + \frac{1}{36} \right) \times t = S
]
Делим обе части на ( S ):
[
\left( \frac{1}{45} + \frac{1}{36} \right) \times t = 1
]
Шаг 5: Найдём сумму дробей:
Общий знаменатель — 45 и 36. Найдём НОК:
- 45 = 3^2 × 5
- 36 = 2^2 × 3^2
Наименьшее общее кратное:
[
\text{НОК}(45,36) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180
]
Переведем дроби к общему знаменателю:
[
\frac{1}{45} = \frac{4}{180}
]
[
\frac{1}{36} = \frac{5}{180}
]
Сумма:
[
\frac{4}{180} + \frac{5}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}
]
Шаг 6: Теперь уравнение:
[
\frac{1}{20} \times t = 1
]
Отсюда:
[
t = 20
]
Ответ: Автобус и автомобиль встретятся через 20 минут.
