Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды S ABCD с вершиной S равны. Найди косинус угла между плоскостями (SAB) и (SDC).
Давайте подробным образом решим задачу о правильной четырёхугольной пирамиде S ABCD, где все рёбра равны, и найдём косинус угла между плоскостями (SAB) и (SDC).
Шаг 1: Введение условий и обозначений
- Пирамида правильная, значит вершина S находится прямо над центром основания.
- Основание — квадрат ABCD.
- Все рёбра равны: \( SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a \).
Шаг 2: Координатное моделирование
Чтобы упростить вычисления, поставим координаты:
Расположим квадрат ABCD в плоскости XY: \[ A = (0, 0, 0), \quad B = (a, 0, 0), \quad C = (a, a, 0), \quad D = (0, a, 0). \]
Вершина S находится прямо над центром квадрата (по оси Z):
Центр квадрата: \( O = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \).
Так как все рёбра равны и равны длине \( a \), то высота \( h \) вершины S определяется из уравнения:
\[ SA^2 = (x_S - 0)^2 + (y_S - 0)^2 + (z_S - 0)^2 = a^2, \]
и при условии, что S лежит прямо над центром:
\[ x_S = \frac{a}{2}, \quad y_S = \frac{a}{2}. \]
Тогда:
\[ (x_S - 0)^2 + (y_S - 0)^2 + h^2 = a^2, \]
\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2, \]
\[ 2 \cdot \frac{a^2}{4} + h^2 = a^2, \]
\[ \frac{a^2}{2} + h^2 = a^2, \]
\[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}, \]
\[ h = \frac{a}{\sqrt{2}}. \]
Координата вершины S:
\[ S = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right). \]
Шаг 3: Векторы плоскостей (SAB) и (SDC)
- Для определения угол между плоскостями найдем их нормали.
Шаг 4: Построение векторных нормалей
Плоскость (SAB):
Векторы на плоскости:
\[ \vec{SA} = A - S = (0, 0, 0) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right), \]
\[ \vec{SB} = B - S = (a, 0, 0) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right). \]
Находим нормаль плоскости (SAB) — вектор за счет векторного произведения \(\vec{SA} \times \vec{SB}\):
\[ \vec{n}_{SAB} = \vec{SA} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -\frac{a}{\sqrt{2}} \\ \frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -\frac{a}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}. \]
Вычислим по строкам:
\[ \mathbf{i} \left((- \frac{a}{2})(- \frac{a}{\sqrt{2}}) - (- \frac{a}{2})(- \frac{a}{\sqrt{2}})\right) = \mathbf{i} (X - X) = 0, \] \[ -\mathbf{j} \left((- \frac{a}{2})(- \frac{a}{\sqrt{2}}) - (\frac{a}{2})(- \frac{a}{\sqrt{2}})\right), \] \[ = -\mathbf{j} \left(\frac{a^2}{2 \sqrt{2}} - \left(-\frac{a^2}{2 \sqrt{2}}\right)\right) = -\mathbf{j} \left(\frac{a^2}{2 \sqrt{2}} + \frac{a^2}{2 \sqrt{2}}\right) = - \mathbf{j} \left(\frac{a^2}{\sqrt{2}}\right), \] \[ \mathbf{k} \left((- \frac{a}{2})(- \frac{a}{2}) - (- \frac{a}{2})(\frac{a}{2})\right) = \mathbf{k} \left(\frac{a^2}{4} - (-\frac{a^2}{4}) \right) = \mathbf{k} \left(\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}\right) = \mathbf{k} \left(\frac{a^2}{2}\right). \]
Итак, нормаль к плоскости \( (SAB) \):
\[ \boxed{ \vec{n}_{SAB} = \left(0, - \frac{a^2}{\sqrt{2}}, \frac{a^2}{2}\right) }. \]
Плоскость (SDC):
Векторы:
\[ \vec{SD} = D - S = (0, a, 0) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right), \]
\[ \vec{SC} = C - S = (a, a, 0) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right). \]
Находим нормаль \(\vec{n}_{SDC}\):
\[ \vec{n}_{SDC} = \vec{SD} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -\frac{a}{\sqrt{2}} \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -\frac{a}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}. \]
Вычислим:
\[ \mathbf{i} \left(\frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{\sqrt{2}} - \left(-\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{a}{2}\right) = \mathbf{i} \left(- \frac{a^2}{2 \sqrt{2}} + \frac{a^2}{2 \sqrt{2}}\right) = 0, \]
\[ -\mathbf{j} \left(-\frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{\sqrt{2}}\right) = -\mathbf{j} \left(\frac{a^2}{2 \sqrt{2}} - \frac{a^2}{2 \sqrt{2}}\right) = 0, \]
\[ \mathbf{k} \left(-\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}\right) = \mathbf{k} \left(- \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}\right) = - \frac{a^2}{2} \mathbf{k}. \]
Получаем:
\[ \boxed{\vec{n}_{SDC} = \left(0, 0, - \frac{a^2}{2}\right)}. \]
Шаг 5: Вычисление косинуса угла между плоскостями
Косинус угла \(\theta\) между плоскостями задаётся формулой:
\[ \cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}. \]
Подставим:
\[ \vec{n}_{SAB} = \left(0, - \frac{a^2}{\sqrt{2}}, \frac{a^2}{2}\right), \] \[ \vec{n}_{SDC} = \left(0, 0, - \frac{a^2}{2}\right). \]
Скалярное произведение:
\[ \vec{n}_{SAB} \cdot \vec{n}_{SDC} = 0 \cdot 0 + \left(- \frac{a^2}{\sqrt{2}}\right) \cdot 0 + \frac{a^2}{2} \cdot \left(- \frac{a^2}{2}\right) = - \frac{a^4}{4}. \]
Магнитуды нормалей:
\[ |\vec{n}_{SAB}| = \sqrt{0^2 + \left(- \frac{a^2}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{a^4}{2} + \frac{a^4}{4}} = \sqrt{\frac{a^4}{2} + \frac{a^4}{4}} = \sqrt{\frac{2a^4 + a^4}{4}} = \sqrt{\frac{3a^4}{4}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}. \]
\[ |\vec{n}_{SDC}| = \left| - \frac{a^2}{2}\right| = \frac{a^2}{2}. \]
Итог:
\[ \cos \theta = \frac{\left| - \frac{a^4}{4} \right|}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \times \frac{a^2}{2}} = \frac{\frac{a^4}{4}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \times \frac{a^2}{2}} = \frac{\frac{a^4}{4}}{\frac{a^4 \sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \cos \angle ((SAB), (SDC)) = \frac{1}{\sqrt{3}}. } \]
Это и есть искомый косинус угла между плоскостями \((SAB)\) и \((SDC)\).
