Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды S ABCD с вершиной S равны. Найди косинус угла между плоскостями (SAB) и (SDC).
Ответ нейросети
04 мая 2025 10:08
Давайте подробным образом решим задачу о правильной четырёхугольной пирамиде S ABCD, где все рёбра равны, и найдём косинус угла между плоскостями (SAB) и (SDC).
Шаг 1: Введение условий и обозначений
- Пирамида правильная, значит вершина S находится прямо над центром основания.
- Основание — квадрат ABCD.
- Все рёбра равны: ( SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a ).
Шаг 2: Координатное моделирование
Чтобы упростить вычисления, поставим координаты:
Расположим квадрат ABCD в плоскости XY: [ A = (0, 0, 0), \quad B = (a, 0, 0), \quad C = (a, a, 0), \quad D = (0, a, 0). ]
Вершина S находится прямо над центром квадрата (по оси Z):
Центр квадрата: ( O = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) ).
Так как все рёбра равны и равны длине ( a ), то высота ( h ) вершины S определяется из уравнения:
[ SA^2 = (x_S - 0)^2 + (y_S - 0)^2 + (z_S - 0)^2 = a^2, ]
и при условии, что S лежит прямо над центром:
[ x_S = \frac{a}{2}, \quad y_S = \frac{a}{2}. ]
Тогда:
[ (x_S - 0)^2 + (y_S - 0)^2 + h^2 = a^2, ]
[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2, ]
[ 2 \cdot \frac{a^2}{4} + h^2 = a^2, ]
[ \frac{a^2}{2} + h^2 = a^2, ]
[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}, ]
[ h = \frac{a}{\sqrt{2}}. ]
Координата вершины S:
[ S = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right). ]
Шаг 3: Векторы плоскостей (SAB) и (SDC)
- Для определения угол между плоскостями найдем их нормали.
Шаг 4: Построение векторных нормалей
Плоскость (SAB):
Векторы на плоскости:
[ \vec{SA} = A - S = (0, 0, 0) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right), ]
[ \vec{SB} = B - S = (a, 0, 0) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right). ]
Находим нормаль плоскости (SAB) — вектор за счет векторного произведения (\vec{SA} \times \vec{SB}):
[ \vec{n}_{SAB} = \vec{SA} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -\frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -\frac{a}{\sqrt{2}} \ \frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -\frac{a}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}. ]
Вычислим по строкам:
[ \mathbf{i} \left((- \frac{a}{2})(- \frac{a}{\sqrt{2}}) - (- \frac{a}{2})(- \frac{a}{\sqrt{2}})\right) = \mathbf{i} (X - X) = 0, ] [ -\mathbf{j} \left((- \frac{a}{2})(- \frac{a}{\sqrt{2}}) - (\frac{a}{2})(- \frac{a}{\sqrt{2}})\right), ] [ = -\mathbf{j} \left(\frac{a^2}{2 \sqrt{2}} - \left(-\frac{a^2}{2 \sqrt{2}}\right)\right) = -\mathbf{j} \left(\frac{a^2}{2 \sqrt{2}} + \frac{a^2}{2 \sqrt{2}}\right) = - \mathbf{j} \left(\frac{a^2}{\sqrt{2}}\right), ] [ \mathbf{k} \left((- \frac{a}{2})(- \frac{a}{2}) - (- \frac{a}{2})(\frac{a}{2})\right) = \mathbf{k} \left(\frac{a^2}{4} - (-\frac{a^2}{4}) \right) = \mathbf{k} \left(\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}\right) = \mathbf{k} \left(\frac{a^2}{2}\right). ]
Итак, нормаль к плоскости ( (SAB) ):
[ \boxed{ \vec{n}_{SAB} = \left(0, - \frac{a^2}{\sqrt{2}}, \frac{a^2}{2}\right) }. ]
Плоскость (SDC):
Векторы:
[ \vec{SD} = D - S = (0, a, 0) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right), ]
[ \vec{SC} = C - S = (a, a, 0) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right). ]
Находим нормаль (\vec{n}_{SDC}):
[ \vec{n}_{SDC} = \vec{SD} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -\frac{a}{\sqrt{2}} \ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & -\frac{a}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}. ]
Вычислим:
[ \mathbf{i} \left(\frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{\sqrt{2}} - \left(-\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{a}{2}\right) = \mathbf{i} \left(- \frac{a^2}{2 \sqrt{2}} + \frac{a^2}{2 \sqrt{2}}\right) = 0, ]
[ -\mathbf{j} \left(-\frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{a}{2} \cdot -\frac{a}{\sqrt{2}}\right) = -\mathbf{j} \left(\frac{a^2}{2 \sqrt{2}} - \frac{a^2}{2 \sqrt{2}}\right) = 0, ]
[ \mathbf{k} \left(-\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}\right) = \mathbf{k} \left(- \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}\right) = - \frac{a^2}{2} \mathbf{k}. ]
Получаем:
[ \boxed{\vec{n}_{SDC} = \left(0, 0, - \frac{a^2}{2}\right)}. ]
Шаг 5: Вычисление косинуса угла между плоскостями
Косинус угла (\theta) между плоскостями задаётся формулой:
[ \cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}. ]
Подставим:
[ \vec{n}{SAB} = \left(0, - \frac{a^2}{\sqrt{2}}, \frac{a^2}{2}\right), ] [ \vec{n}{SDC} = \left(0, 0, - \frac{a^2}{2}\right). ]
Скалярное произведение:
[ \vec{n}{SAB} \cdot \vec{n}{SDC} = 0 \cdot 0 + \left(- \frac{a^2}{\sqrt{2}}\right) \cdot 0 + \frac{a^2}{2} \cdot \left(- \frac{a^2}{2}\right) = - \frac{a^4}{4}. ]
Магнитуды нормалей:
[ |\vec{n}_{SAB}| = \sqrt{0^2 + \left(- \frac{a^2}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{a^4}{2} + \frac{a^4}{4}} = \sqrt{\frac{a^4}{2} + \frac{a^4}{4}} = \sqrt{\frac{2a^4 + a^4}{4}} = \sqrt{\frac{3a^4}{4}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}. ]
[ |\vec{n}_{SDC}| = \left| - \frac{a^2}{2}\right| = \frac{a^2}{2}. ]
Итог:
[ \cos \theta = \frac{\left| - \frac{a^4}{4} \right|}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \times \frac{a^2}{2}} = \frac{\frac{a^4}{4}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \times \frac{a^2}{2}} = \frac{\frac{a^4}{4}}{\frac{a^4 \sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. ]
Ответ:
[ \boxed{ \cos \angle ((SAB), (SDC)) = \frac{1}{\sqrt{3}}. } ]
Это и есть искомый косинус угла между плоскостями ((SAB)) и ((SDC)).
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
