Рассмотрим окружность с центром (O) и радиусом (R). Пусть (AB) — хорда окружности, не проходящая через ее центр (O).
Нам нужно показать, что длина хорды (AB) меньше диаметра окружности (2R).
Доказательство:
Обозначим точку (M) — точку пересечения перпендикуляра, проведенного из центра (O) к хорде (AB). Тогда (OM) — перпендикуляр к (AB), и точка (M) лежит на хорде (AB).
По свойствам перпендикуляра, проведенного из центра окружности к хорде, расстояние от центра до хорды равно (OM). Тогда, используя прямоугольный треугольник (OMA):
[
|AM| = \sqrt{R^2 - OM^2}
]
(это — половина длины хорды, так как (M) — середина хорды, поскольку (OM) — перпендикуляр из центра).
- Тогда длина хорды:
[
AB = 2|AM| = 2 \sqrt{R^2 - OM^2}
]
- Заметим, что если хорда (AB) проходит через центр (O), то расстояние от центра до нее равно нулю ((OM = 0)), и, соответственно,
[
AB = 2 \sqrt{R^2 - 0} = 2R
]
что соответствует диаметру.
- В случае же, когда хорда не проходит через центр ((OM \neq 0)), получаем:
[
AB = 2 \sqrt{R^2 - OM^2} < 2R
]
так как (OM \neq 0), следовательно:
[
\sqrt{R^2 - OM^2} < R \implies AB < 2R
]
Заключение:
Если хорда не проходит через центр окружности, расстояние от центра до нее (OM > 0), и длина хорды меньше диаметра. Таким образом,
[
\boxed{
\text{Если хорда не проходит через центр окружности, то ее длина } AB < 2R
}
]
что и требовалось доказать.
