Построй график функции. 2x²+6x+3,x> либо равно -2 x+2,x< -2 и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Давайте разобьём задачу на два этапа: 1. Построение графика функции и анализ условий. 2. Определение значений m для прямой y = m, которая пересекает график ровно в двух точках. --- ### 1. Построение графика функции и анализ условий Функция: \[ y = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \] **Шаг 1: Построим каждую часть отдельно** - **Часть 1:** \( y = 2x^2 + 6x + 3 \), для \( x \geq -2 \) Это квадратичная функция, вершина которой находится по формуле: \[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 2} = -\frac{6}{4} = -1.5 \] Значение функции в вершине: \[ y_{верш} = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2 \times 2.25 - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \] Точка вершины: \((-1.5, -1.5)\) Так как \( x \geq -2 \), то график этой части начинается с точки x = -2. Найдем значение функции в точке x = -2: \[ y(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \times 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \] Таким образом, кусок квадратичной функции идёт от точки \((-2, -1)\) и затем продолжается вправо и вверх, так как коэф. перед \(x^2\) — положительный. - **Часть 2:** \( y = x + 2 \), для \( x < -2 \) Это прямая, проходящая через точки \((-2, 0)\) поскольку при x = -2: \[ y = -2 + 2 = 0 \] Но так как для этого участка \( x < -2 \), на графике эта прямая расположена слева от точки \((-2, 0)\), не включая её. --- ### 2. Анализ для нахождения значений m Нам нужно определить все m, такие что прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках. --- ### **Общий план:** - **А)** Посмотрим, где и какие пересечения бывают. - **Б)** Найдём, при каких m ровно две точки пересечения. ### Подробный разбор: #### Рассмотрим каждую часть отдельно: **1. Для квадратичной части \( y = 2x^2 + 6x + 3 \)** Рассмотрим линейную функцию: \( y = m \), где m — фиксированное число. Решим уравнение: \[ 2x^2 + 6x + 3 = m \] или \[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \] Это квадратное уравнение по x: Дискриминант: \[ D = (6)^2 - 4 \times 2 \times (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m \] Чтобы было два решения: \[ D > 0 \Rightarrow 12 + 8m > 0 \Rightarrow 8m > -12 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} = -1.5 \] Но учтём, что рассматриваем только x \(\geq -2 \). Таким образом, найти решения уравнения для этой части, и они должны удовлетворять условию: - **Число решений:** - Если \( D > 0 \), то два x-решения. - Но нам нужно, чтобы эти решения соответствовали диапазону \( x \geq -2 \). - В случае, когда уравнение даёт больше двух решений (учитывая оба квадранта), важно определить, сколько пересечений получается. **2. Для прямой \( y = m \), \( x < -2 \)** Рассмотрим линию \( y = m \) и её пересечения с частью \( y = x + 2 \): \[ x + 2 = m \] \[ x = m - 2 \] Точка пересечения: \((m-2, m)\). Чтобы это пересечение попало в интервал \( x < -2 \): \[ m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \] **Итог по пересечениям:** - Если \( m < 0 \), то прямая пересекает левую часть (прямую \( y = x + 2 \)) в одной точке: \((m-2, m)\), и если эта точка удовлетворяет \( x < -2 \), то есть \( m - 2 < -2 \), то пересечение одна. - Если \( m = 0 \), то точка: \((0-2, 0) = (-2, 0)\). Но по условию, для \( x < -2 \), точка \((-2, 0)\) не входит, значит пересечение не происходит. Но для \( x \geq -2 \) — это точка границы, и она принадлежит лишь одному участку. - Если \( m > 0 \), то \( x = m - 2 \). Чтобы пересечение было в левой части, \( m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \), что противоречит условию. --- ### **Общий вывод:** - Чтобы прямая \( y = m \) пересекла график ровно в двух точках, возможна ситуация: - Одно пересечение с квадратичной частью, при этом другая часть — не даёт пересечений (например, находящаяся за пределами диапазона). - Или пересечение с обеими частями, дающее ровно две точки. --- ### Итоговое решение: **Пересечения с квадратичной частью:** - Уравнение: \( 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \), дискриминант \( D = 12 + 8m \). - Для двух решений: \( D > 0 \Rightarrow m > -1.5 \). Значения \( x \), соответствующие solutions, нужно проверить на принадлежность к диапазону \( x \geq -2 \)**. - Корни: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{D}}{2 \times 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12 + 8m}}{4} \] **Подставим:** 1. \( x_1 = \frac{-6 + \sqrt{12 + 8m}}{4} \) 2. \( x_2 = \frac{-6 - \sqrt{12 + 8m}}{4} \) Для второго корня, чтобы он лежал в диапазоне \( x \geq -2 \): \[ x_2 \geq -2 \Rightarrow \frac{-6 - \sqrt{12 + 8m}}{4} \geq -2 \] \[ -6 - \sqrt{12 + 8m} \geq -8 \] \[ -6 + 8 \leq \sqrt{12 + 8m} \] \[ 2 \leq \sqrt{12 + 8m} \Rightarrow 4 \leq 12 + 8m \Rightarrow 8m \geq -8 \Rightarrow m \geq -1 \] и при этом, поскольку \( D > 0 \), то \( m > -1.5 \), и в данном диапазоне \( m \geq -1 \). --- ### **2. Для прямой \( y = m \) в левом участке** - Пересечение при \( x = m - 2 \) - Для него нужно, чтобы \( x = m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \). - Тогда точка пересечения \( (m - 2, m) \) — в диапазоне \( x < -2 \). --- ### **ИТОГ:** #### Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две точки пересечения с графиком: - Возможен случай, когда: - **Одна точка на квадратичной части**, а - **Одна точка на линейной части**. - Тогда: - \( m \geq -1 \) (чтобы квадратичная часть давала два пересечения), а - \(\) \(\) при \( m < 0 \). Объединяя эти условия, получаем: \[ -1 \leq m < 0 \] Поскольку при \( m = -1 \), дискриминант равен нулю — одна общая точка, не два. Также при \( m \to -1^- \), решение с квадратичной части — одна точка (касание), а с линейной — нет. --- ### **Подытожим:** --- ## **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Прямая } y = m \text{ имеет ровно две общие точки с графиком при } \textbf{-1 < m < 0} } \] --- Если у вас есть вопросы или нужно помочь с графиком — обращайтесь!