Построй график функции. 2x²+6x+3,x> либо равно -2 x+2,x< -2 и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Давайте разобьём задачу на два этапа:
- Построение графика функции и анализ условий.
- Определение значений m для прямой y = m, которая пересекает график ровно в двух точках.
1. Построение графика функции и анализ условий
Функция:
\[ y = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]
Шаг 1: Построим каждую часть отдельно
- Часть 1: \( y = 2x^2 + 6x + 3 \), для \( x \geq -2 \)
Это квадратичная функция, вершина которой находится по формуле:
\[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 2} = -\frac{6}{4} = -1.5 \]
Значение функции в вершине:
\[ y_{верш} = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2 \times 2.25 - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \]
Точка вершины: \((-1.5, -1.5)\)
Так как \( x \geq -2 \), то график этой части начинается с точки x = -2.
Найдем значение функции в точке x = -2:
\[ y(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \times 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \]
Таким образом, кусок квадратичной функции идёт от точки \((-2, -1)\) и затем продолжается вправо и вверх, так как коэф. перед \(x^2\) — положительный.
- Часть 2: \( y = x + 2 \), для \( x < -2 \)
Это прямая, проходящая через точки \((-2, 0)\) поскольку при x = -2:
\[ y = -2 + 2 = 0 \]
Но так как для этого участка \( x < -2 \), на графике эта прямая расположена слева от точки \((-2, 0)\), не включая её.
2. Анализ для нахождения значений m
Нам нужно определить все m, такие что прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках.
Общий план:
А) Посмотрим, где и какие пересечения бывают.
Б) Найдём, при каких m ровно две точки пересечения.
Подробный разбор:
Рассмотрим каждую часть отдельно:
1. Для квадратичной части \( y = 2x^2 + 6x + 3 \)
Рассмотрим линейную функцию: \( y = m \), где m — фиксированное число.
Решим уравнение:
\[ 2x^2 + 6x + 3 = m \]
или
\[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \]
Это квадратное уравнение по x:
Дискриминант:
\[ D = (6)^2 - 4 \times 2 \times (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m \]
Чтобы было два решения:
\[ D > 0 \Rightarrow 12 + 8m > 0 \Rightarrow 8m > -12 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} = -1.5 \]
Но учтём, что рассматриваем только x \(\geq -2 \).
Таким образом, найти решения уравнения для этой части, и они должны удовлетворять условию:
Число решений:
Если \( D > 0 \), то два x-решения.
Но нам нужно, чтобы эти решения соответствовали диапазону \( x \geq -2 \).
В случае, когда уравнение даёт больше двух решений (учитывая оба квадранта), важно определить, сколько пересечений получается.
2. Для прямой \( y = m \), \( x < -2 \)
Рассмотрим линию \( y = m \) и её пересечения с частью \( y = x + 2 \):
\[ x + 2 = m \] \[ x = m - 2 \]
Точка пересечения: \((m-2, m)\).
Чтобы это пересечение попало в интервал \( x < -2 \):
\[ m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \]
Итог по пересечениям:
Если \( m < 0 \), то прямая пересекает левую часть (прямую \( y = x + 2 \)) в одной точке: \((m-2, m)\), и если эта точка удовлетворяет \( x < -2 \), то есть \( m - 2 < -2 \), то пересечение одна.
Если \( m = 0 \), то точка: \((0-2, 0) = (-2, 0)\). Но по условию, для \( x < -2 \), точка \((-2, 0)\) не входит, значит пересечение не происходит.
Но для \( x \geq -2 \) — это точка границы, и она принадлежит лишь одному участку.Если \( m > 0 \), то \( x = m - 2 \).
Чтобы пересечение было в левой части, \( m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \), что противоречит условию.
Общий вывод:
Чтобы прямая \( y = m \) пересекла график ровно в двух точках, возможна ситуация:
Одно пересечение с квадратичной частью, при этом другая часть — не даёт пересечений (например, находящаяся за пределами диапазона).
Или пересечение с обеими частями, дающее ровно две точки.
Итоговое решение:
Пересечения с квадратичной частью:
- Уравнение: \( 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \), дискриминант \( D = 12 + 8m \).
- Для двух решений: \( D > 0 \Rightarrow m > -1.5 \).
Значения \( x \), соответствующие solutions, нужно проверить на принадлежность к диапазону \( x \geq -2 \)**.
- Корни:
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{D}}{2 \times 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12 + 8m}}{4} \]
Подставим:
\( x_1 = \frac{-6 + \sqrt{12 + 8m}}{4} \)
\( x_2 = \frac{-6 - \sqrt{12 + 8m}}{4} \)
Для второго корня, чтобы он лежал в диапазоне \( x \geq -2 \):
\[ x_2 \geq -2 \Rightarrow \frac{-6 - \sqrt{12 + 8m}}{4} \geq -2 \]
\[ -6 - \sqrt{12 + 8m} \geq -8 \]
\[ -6 + 8 \leq \sqrt{12 + 8m} \]
\[ 2 \leq \sqrt{12 + 8m} \Rightarrow 4 \leq 12 + 8m \Rightarrow 8m \geq -8 \Rightarrow m \geq -1 \]
и при этом, поскольку \( D > 0 \), то \( m > -1.5 \), и в данном диапазоне \( m \geq -1 \).
2. Для прямой \( y = m \) в левом участке
Пересечение при \( x = m - 2 \)
Для него нужно, чтобы \( x = m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \).
Тогда точка пересечения \( (m - 2, m) \) — в диапазоне \( x < -2 \).
ИТОГ:
Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две точки пересечения с графиком:
Возможен случай, когда:
Одна точка на квадратичной части, а
Одна точка на линейной части.
Тогда:
\( m \geq -1 \) (чтобы квадратичная часть давала два пересечения), а
\(\) \(\) при \( m < 0 \).
Объединяя эти условия, получаем:
\[ -1 \leq m < 0 \]
Поскольку при \( m = -1 \), дискриминант равен нулю — одна общая точка, не два.
Также при \( m \to -1^- \), решение с квадратичной части — одна точка (касание), а с линейной — нет.
Подытожим:
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Прямая } y = m \text{ имеет ровно две общие точки с графиком при } \textbf{-1 < m < 0} } \]
Если у вас есть вопросы или нужно помочь с графиком — обращайтесь!
