Найдите наименьшее число которое больше 1 и делиться на 15,18и27 с остатком 2
Давайте разберём задачу по шагам.
Задача: Нужно найти наименьшее число, большее чем 1, которое при делении на 15, 18 и 27 даёт остаток 2.
Шаг 1: Запишем условие
Обозначим искомое число как \( N \). Тогда:
- \( N \equiv 2 \ (\text{mod}\ 15) \)
- \( N \equiv 2 \ (\text{mod}\ 18) \)
- \( N \equiv 2 \ (\text{mod}\ 27) \)
Иначе говоря, \( N - 2 \) делится на 15, 18 и 27.
Шаг 2: Упростим условие
Из равенств:
\[ N - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 15), \\ N - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 18), \\ N - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 27). \]
Следовательно, число \( N - 2 \) кратно всем трем числам:
\[ N - 2 \text{ делится на их НОД или на наименьшее общее кратное (НОК)}. \]
Поскольку для решения задачи нужно найти минимальное \( N \), сначала найдём НОК чисел 15, 18 и 27.
Шаг 3: Нахождение НОК чисел 15, 18 и 27
Факториализируем каждое число:
- \( 15 = 3 \times 5 \)
- \( 18 = 2 \times 3^2 \)
- \( 27 = 3^3 \)
Чтобы найти НОК, берём максимальную степень каждого простого делителя:
- для 2: максимум — \( 2^1 \),
- для 3: максимум — \( 3^3 \),
- для 5: максимум — \( 5^1 \).
Значит,
\[ \text{НОК}(15, 18, 27) = 2^1 \times 3^3 \times 5 = 2 \times 27 \times 5 = 2 \times 135 = 270. \]
Шаг 4: Найти \( N \)
Так как \( N - 2 \) делится на 270, то:
\[ N - 2 = 270k, \] где \( k \) — натуральное число.
Искомое число:
\[ N = 270k + 2. \]
Нужно минимальное \( N > 1 \), при этом \( N = 270k + 2 > 1 \).
Минимальным значением для \( k \), чтобы \( N > 1 \), является \( k = 1 \).
Подставляем:
\[ N = 270 \times 1 + 2 = 272. \]
Ответ:
\[ \boxed{272} \]
Итог:
Наименьшее число, большее 1, которое даёт остаток 2 при делении на 15, 18 и 27 — 272.
