Давайте разберём задачу по шагам.
Задача: Нужно найти наименьшее число, большее чем 1, которое при делении на 15, 18 и 27 даёт остаток 2.
Шаг 1: Запишем условие
Обозначим искомое число как ( N ). Тогда:
- ( N \equiv 2 \ (\text{mod}\ 15) )
- ( N \equiv 2 \ (\text{mod}\ 18) )
- ( N \equiv 2 \ (\text{mod}\ 27) )
Иначе говоря, ( N - 2 ) делится на 15, 18 и 27.
Шаг 2: Упростим условие
Из равенств:
[
N - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 15), \
N - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 18), \
N - 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 27).
]
Следовательно, число ( N - 2 ) кратно всем трем числам:
[
N - 2 \text{ делится на их НОД или на наименьшее общее кратное (НОК)}.
]
Поскольку для решения задачи нужно найти минимальное ( N ), сначала найдём НОК чисел 15, 18 и 27.
Шаг 3: Нахождение НОК чисел 15, 18 и 27
Факториализируем каждое число:
- ( 15 = 3 \times 5 )
- ( 18 = 2 \times 3^2 )
- ( 27 = 3^3 )
Чтобы найти НОК, берём максимальную степень каждого простого делителя:
- для 2: максимум — ( 2^1 ),
- для 3: максимум — ( 3^3 ),
- для 5: максимум — ( 5^1 ).
Значит,
[
\text{НОК}(15, 18, 27) = 2^1 \times 3^3 \times 5 = 2 \times 27 \times 5 = 2 \times 135 = 270.
]
Шаг 4: Найти ( N )
Так как ( N - 2 ) делится на 270, то:
[
N - 2 = 270k,
]
где ( k ) — натуральное число.
Искомое число:
[
N = 270k + 2.
]
Нужно минимальное ( N > 1 ), при этом ( N = 270k + 2 > 1 ).
Минимальным значением для ( k ), чтобы ( N > 1 ), является ( k = 1 ).
Подставляем:
[
N = 270 \times 1 + 2 = 272.
]
Ответ:
[
\boxed{272}
]
Итог:
Наименьшее число, большее 1, которое даёт остаток 2 при делении на 15, 18 и 27 — 272.
