Рассмотрим задачу: у нас есть треугольник со сторонами 12 см, 15 см и 21 см, а площадь этого треугольника равна (36 \sqrt{6}). Нужно найти радиус вписанной окружности (радиус инcircle), обозначим его как (r).
Пошаговый разбор:
Шаг 1. Обозначения и формулы
- Пусть стороны треугольника: (a=12), (b=15), (c=21).
- Площадь треугольника: (S=36 \sqrt{6}).
Формула радиуса вписанной окружности:
[
r = \frac{S}{p}
]
где (p) — полупериметр треугольника:
[
p=\frac{a+b+c}{2}
]
Задача сводится к вычислению (p), а затем — радиуса (r).
Шаг 2. Вычисляем полупериметр (p)
[
p = \frac{12 + 15 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24
]
Шаг 3. Подставляем известные значения и находим радиус (r)
[
r = \frac{S}{p} = \frac{36 \sqrt{6}}{24}
]
Сократим дробь:
[
r = \frac{36 \sqrt{6}}{24} = \frac{36}{24} \cdot \sqrt{6} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{6}
]
Ответ:
[
\boxed{
r = \frac{3}{2} \sqrt{6} \text{ см}
}
]
Если нужно, я могу дополнительно проверить, что площадь соответствует сторонам, используя формулу Герона, чтобы убедиться в правильности данных. Хотите сделать это?
