Задание 1 (16 баллов). Задана функция y = −x2 + 4 x − 7. Найдите: а) область определения данной функции (6 баллов); б) область значений данной функции (10 баллов).

Конечно! Давайте подробно разберем задачу.

Задача:

Дана функция:
\[ y = -x^2 + 4x - 7 \]

Требуется найти:
а) Область определения функции
б) Область значений функции

а) Область определения функции

Область определения функции — это множество всех значений переменной \( x \), при которых функция определена.

Условие для функции:

• Формула \( y = -x^2 + 4x - 7 \) — это полином (квадратичная функция).

Квадратичные функции определены для всех вещественных чисел, поскольку можно подставлять любое \( x \) и получать соответствующий \( y \).

Ответ:
\[ \text{Область определения} = \mathbb{R} \] (множество всех вещественных чисел)

б) Область значений функции

Значение функции — это множество всех возможных \( y \). Для квадратичной функции с коэффициентом перед \( x^2 \) отрицательным (в данном случае — \(-1\)) график — парабола, направленная вниз.

Шаг 1: Привести функцию к вершине параболы

Для этого найдем вершину параболы, то есть точку, где достигается её максимум или минимум. В вершине параболы:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]

В нашей функции:
\[ y = -x^2 + 4x - 7 \]
Здесь:

• \( a = -1 \),
• \( b = 4 \).

Вычисляем \( x_v \):
\[ x_v = -\frac{4}{2 \times (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \]

Шаг 2: Найти \( y \) в вершине

Подставляем \( x = 2 \) в функцию:
\[ y(2) = - (2)^2 + 4 \times 2 - 7 = -4 + 8 - 7 = -3 \]

Это значение — максимум функции, так как парабола направлена вниз.

Итог:

• Максимальное значение функции: \( y_{max} = -3 \).
• Поскольку парабола направлена вниз, значения \( y \) могут принимать любые числа, меньшие или равные \(-3\).

Ответ:
\[ \text{Область значений} = (-\infty, -3] \]

Итог:

а) Область определения: \(\mathbb{R}\) (все вещественные числа)
б) Область значений: \((- \infty, -3]\)

Если нужно подробнее объяснить каждый шаг — скажите!