Задание 1 (16 баллов). Задана функция y = −x2 + 4 x − 7. Найдите: а) область определения данной функции (6 баллов); б) область значений данной функции (10 баллов).

Конечно! Давайте подробно разберем задачу. --- ### Задача: Дана функция: \[ y = -x^2 + 4x - 7 \] Требуется найти: а) Область определения функции б) Область значений функции --- ## а) Область определения функции Область определения функции — это множество всех значений переменной \( x \), при которых функция определена. Условие для функции: - Формула \( y = -x^2 + 4x - 7 \) — это полином (квадратичная функция). Квадратичные функции определены для всех вещественных чисел, поскольку можно подставлять любое \( x \) и получать соответствующий \( y \). **Ответ:** \[ \text{Область определения} = \mathbb{R} \] (множество всех вещественных чисел) --- ## б) Область значений функции Значение функции — это множество всех возможных \( y \). Для квадратичной функции с коэффициентом перед \( x^2 \) отрицательным (в данном случае — \(-1\)) график — парабола, направленная вниз. ### Шаг 1: Привести функцию к вершине параболы Для этого найдем вершину параболы, то есть точку, где достигается её максимум или минимум. В вершине параболы: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] В нашей функции: \[ y = -x^2 + 4x - 7 \] Здесь: - \( a = -1 \), - \( b = 4 \). Вычисляем \( x_v \): \[ x_v = -\frac{4}{2 \times (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \] ### Шаг 2: Найти \( y \) в вершине Подставляем \( x = 2 \) в функцию: \[ y(2) = - (2)^2 + 4 \times 2 - 7 = -4 + 8 - 7 = -3 \] Это значение — максимум функции, так как парабола направлена вниз. ### Итог: - Максимальное значение функции: \( y_{max} = -3 \). - Поскольку парабола направлена вниз, значения \( y \) могут принимать любые числа, меньшие или равные \(-3\). **Ответ:** \[ \text{Область значений} = (-\infty, -3] \] --- ## Итог: **а)** Область определения: \(\mathbb{R}\) (все вещественные числа) **б)** Область значений: \((- \infty, -3]\) Если нужно подробнее объяснить каждый шаг — скажите!