Давайте решим задачу пошагово и подробно, чтобы было понятно, как найти расстояние между двумя пунктами.
Дано:
- Время прохождения маршрута по течению: 7 часов
- Время прохождения маршрута против течения: 8 часов
- Скорость течения реки: 2,5 км/ч
Обозначим:
- ( D ) — расстояние между двумя пунктами, которое нам нужно найти.
- ( V_{сред_вода} ) — собственная скорость катера в неподвижной воде.
- ( V_{течения} = 2{,}5 ) км/ч — скорость течения.
Шаг 1. Построим уравнения для скоростей
- По течению: скорость катера увеличивается на скорость течения, то есть:
[ V_{по_течению} = V_{сред_вода} + V_{течения} ]
- Против течения: скорость уменьшается на скорость течения, то есть:
[ V_{против_течению} = V_{сред_вода} - V_{течения} ]
Шаг 2. Запишем выражения для расстояния
При прохождении по течению время ( t_1 = 7 ) часов:
[ D = V_{по_течению} \times t_1 = (V_{сред_вода} + 2{,}5) \times 7 ]
При прохождении против течения время ( t_2 = 8 ) часов:
[ D = V_{против_течению} \times t_2 = (V_{сред_вода} - 2{,}5) \times 8 ]
Так как расстояние одно и то же, приравним два выражения:
[ (V_{сред_вода} + 2{,}5) \times 7 = (V_{сред_вода} - 2{,}5) \times 8 ]
Шаг 3. Решим уравнение для ( V_{сред_вода} )
Раскроем скобки:
[ 7V_{сред_вода} + 7 \times 2{,}5 = 8V_{сред_вода} - 8 \times 2{,}5 ]
Вычислим умножения:
[ 7V_{сред_вода} + 17,5 = 8V_{сред_вода} - 20 ]
Перенесем все с ( V_{сред_вода} ) в одну сторону и числа — в другую:
[ 17,5 + 20 = 8V_{сред_вода} - 7V_{сред_вода} ]
То есть:
[ 37,5 = V_{сред_вода} ]
Шаг 4. Найдём расстояние ( D )
Подставим ( V_{сред_вода} = 37,5 ) км/ч в уравнение для ( D ):
[ D = (V_{сред_вода} + 2,5) \times 7 = (37,5 + 2,5) \times 7 ]
[ D = 40 \times 7 = 280 \text{ км} ]
или
[ D = (V_{сред_вода} - 2,5) \times 8 = (37,5 - 2,5) \times 8 = 35 \times 8 = 280 \text{ км} ]
Оба варианта совпадают, что подтверждает правильность решения.
Ответ:
Расстояние между двумя пунктами равно 280 километрам.
