Катя параш против течения пятьдесят шесть километров и вернулся пункт отправления с трана обратный путь ноль целых пять десятых часа меньше Чем при движении против течения Найдите…

Давайте подробно решим задачу по шагам.

Дано:

• Расстояние, пройденное Катей, — 56 км.
• Скорость течения — 1 км/ч.
• Время прохождения этого расстояния против течения — \( t_1 \).
• Время возвращения — \( t_2 = t_1 - 0,5 \) часа (на полчаса меньше, чем при движении против течения).

Необходимо найти:

• Скорость катера относительно неподвижной воды — обозначим её как \( v \).

---

Шаг 1. Построение уравнений для времени движения

• Против течения:
  Катер движется со скоростью \( v \) против течения.
  effective скорость против течения = \( v - 1 \) км/ч.
  Время прохождения пути:
  \[ t_1 = \frac{56}{v - 1} \]

• По течению:
  Катер движется со скоростью \( v \) по течению, то есть
  effective скорость по течению = \( v + 1 \) км/ч.
  Время возвращения:
  \[ t_2 = \frac{56}{v + 1} \]

---

Шаг 2. Используем условие разницы времени

Из условия:
\[ t_2 = t_1 - 0,5 \]

подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{56}{v + 1} = \frac{56}{v - 1} - 0,5 \]

---

Шаг 3. Решение уравнения

перенесем \(-0,5\) в левую часть:

\[ \frac{56}{v + 1} + 0,5 = \frac{56}{v - 1} \]

Запишем левую часть с общим знаменателем:

\[ \frac{56}{v + 1} + \frac{1}{2} = \frac{56}{v - 1} \]

Для удобства умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 2 \times \frac{56}{v + 1} + 2 \times \frac{1}{2} = 2 \times \frac{56}{v - 1} \]

получим:

\[ \frac{112}{v + 1} + 1 = \frac{112}{v - 1} \]

---

Шаг 4. Вырежем дроби

Перенесем все в одну сторону:

\[ \frac{112}{v + 1} - \frac{112}{v - 1} = -1 \]

Общий знаменатель: \((v + 1)(v - 1) = v^2 - 1\).

Обратимся к приведению левой части к общему знаменателю:

\[ \frac{112(v - 1) - 112(v + 1)}{v^2 - 1} = -1 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{112v - 112 - 112v - 112}{v^2 - 1} = -1 \]

Объем числителя:

\[ (112v - 112) - (112v + 112) = 112v - 112 - 112v - 112 = -224 \]

Итак,

\[ \frac{-224}{v^2 - 1} = -1 \]

Упростим:

\[ -224 = - (v^2 - 1) \]

или

\[ -224 = -v^2 + 1 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ -v^2 + 1 + 224 = 0 \]

\[ -v^2 + 225 = 0 \]

или

\[ v^2 = 225 \]

Следовательно,

\[ v = \pm 15 \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:

\[ \boxed{ v = 15\, \text{км/ч} } \]

---

Ответ:

Скорость катера относительно неподвижной воды составляет 15 км/ч.