Давайте подробно решим задачу по шагам.
Дано:
- Расстояние, пройденное Катей, — 56 км.
- Скорость течения — 1 км/ч.
- Время прохождения этого расстояния против течения — ( t_1 ).
- Время возвращения — ( t_2 = t_1 - 0,5 ) часа (на полчаса меньше, чем при движении против течения).
Необходимо найти:
- Скорость катера относительно неподвижной воды — обозначим её как ( v ).
Шаг 1. Построение уравнений для времени движения
Против течения:
Катер движется со скоростью ( v ) против течения.
effective скорость против течения = ( v - 1 ) км/ч.
Время прохождения пути:
[
t_1 = \frac{56}{v - 1}
]
По течению:
Катер движется со скоростью ( v ) по течению, то есть
effective скорость по течению = ( v + 1 ) км/ч.
Время возвращения:
[
t_2 = \frac{56}{v + 1}
]
Шаг 2. Используем условие разницы времени
Из условия:
[
t_2 = t_1 - 0,5
]
подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{56}{v + 1} = \frac{56}{v - 1} - 0,5
]
Шаг 3. Решение уравнения
перенесем (-0,5) в левую часть:
[
\frac{56}{v + 1} + 0,5 = \frac{56}{v - 1}
]
Запишем левую часть с общим знаменателем:
[
\frac{56}{v + 1} + \frac{1}{2} = \frac{56}{v - 1}
]
Для удобства умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
2 \times \frac{56}{v + 1} + 2 \times \frac{1}{2} = 2 \times \frac{56}{v - 1}
]
получим:
[
\frac{112}{v + 1} + 1 = \frac{112}{v - 1}
]
Шаг 4. Вырежем дроби
Перенесем все в одну сторону:
[
\frac{112}{v + 1} - \frac{112}{v - 1} = -1
]
Общий знаменатель: ((v + 1)(v - 1) = v^2 - 1).
Обратимся к приведению левой части к общему знаменателю:
[
\frac{112(v - 1) - 112(v + 1)}{v^2 - 1} = -1
]
Раскроем скобки в числителе:
[
\frac{112v - 112 - 112v - 112}{v^2 - 1} = -1
]
Объем числителя:
[
(112v - 112) - (112v + 112) = 112v - 112 - 112v - 112 = -224
]
Итак,
[
\frac{-224}{v^2 - 1} = -1
]
Упростим:
[
-224 = - (v^2 - 1)
]
или
[
-224 = -v^2 + 1
]
Переносим все в одну сторону:
[
-v^2 + 1 + 224 = 0
]
[
-v^2 + 225 = 0
]
или
[
v^2 = 225
]
Следовательно,
[
v = \pm 15
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:
[
\boxed{
v = 15, \text{км/ч}
}
]
Ответ:
Скорость катера относительно неподвижной воды составляет 15 км/ч.
