Установи вероятность того, что при бросании кубика выпадет единица, тройка или пятёрка, и случится это в первый раз при втором, третьем или четвёртом броске.

Давайте подробно разберем задачу. Задача: Нужно найти вероятность того, что при последовательных бросках стандартного шестигранного кубика (числа от 1 до 6), выполнится одновременно два условия: 1. Выпадет единица, тройка или пятёрка (то есть, одно из чисел {1, 3, 5}). 2. Первый раз выпадение такого числа произойдет на другом конкретном броске (2-й, 3-й или 4-й). --- ### Шаг 1: Обозначим события - **A_k** — событие, что первый раз число из {1,3,5} выпадает на **k**-ом броске. Мы ищем вероятность \(\displaystyle P(\text{выпадет первый раз } 1,3,5 \text{ на } 2, 3 \text{ или } 4 \text{-ом броске})\). Это сумма трех вероятностей: \[ P_2 + P_3 + P_4, \] где: - \(P_k = P(\text{первый раз число } \{1,3,5\} \text{ на }k\text{-ом броске})\). --- ### Шаг 2: Рассчитаем вероятность для каждого \(k\) Обозначим: - \(E_k\) — событие, что на \(k\)-ом броске выпало число из \(\{1,3,5\}\). - \(F_k\) — событие, что до \(k\)-ого броска ни разу не выпадало число из \(\{1,3,5\}\). Тогда, \[ P_k = P(\text{выпало } \{1,3,5\} \text{ на }k\text{-ом} \text{ и раньше этого не было}). \] По определению: \[ P_k = P(F_{k-1}) \times P(E_k). \] --- ### Шаг 3: Вычислим \(P(F_{k-1})\) и \(P(E_k)\) - Вероятность, что на одном броске выпало число из \(\{1,3,5\}\): \[ p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \] - Вероятность, что на одном броске не выпало число из \(\{1,3,5\}\): \[ 1 - p = \frac{1}{2}. \] --- ### Шаг 4: Вычислим \(P(F_{k-1})\) Это — вероятность, что до броска №k ни разу не было выпадения числа из \(\{1,3,5\}\), то есть все предыдущие \(k-1\) бросков показывали числа из \(\{2, 4, 6\}\): \[ P(F_{k-1}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}. \] --- ### Шаг 5: Вычислим \(P(E_k)\) Это — вероятность, что на \(k\)-ом броске выпало число из \(\{1,3,5\}\): \[ P(E_k) = \frac{1}{2}. \] ### Итог: \[ P_k = P(F_{k-1}) \times P(E_k) = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^k. \] --- ### Шаг 6: Найдём сумму для \(k=2,3,4\) \[ P = P_2 + P_3 + P_4 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^4. \] Подставим значения: \[ P = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}. \] Приведем к общему знаменателю 16: \[ P = \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{7}{16} } \] Это и есть вероятность того, что при бросании кубика выпадет число 1, 3 или 5 впервые на втором, третьем или четвертом броске.