Установи вероятность того, что при бросании кубика выпадет единица, тройка или пятёрка, и случится это в первый раз при втором, третьем или четвёртом броске.
Давайте подробно разберем задачу.
Задача:
Нужно найти вероятность того, что при последовательных бросках стандартного шестигранного кубика (числа от 1 до 6), выполнится одновременно два условия:
- Выпадет единица, тройка или пятёрка (то есть, одно из чисел {1, 3, 5}).
- Первый раз выпадение такого числа произойдет на другом конкретном броске (2-й, 3-й или 4-й).
Шаг 1: Обозначим события
- A_k — событие, что первый раз число из {1,3,5} выпадает на k-ом броске.
Мы ищем вероятность \(\displaystyle P(\text{выпадет первый раз } 1,3,5 \text{ на } 2, 3 \text{ или } 4 \text{-ом броске})\).
Это сумма трех вероятностей:
\[ P_2 + P_3 + P_4, \]
где:
- \(P_k = P(\text{первый раз число } \{1,3,5\} \text{ на }k\text{-ом броске})\).
Шаг 2: Рассчитаем вероятность для каждого \(k\)
Обозначим:
- \(E_k\) — событие, что на \(k\)-ом броске выпало число из \(\{1,3,5\}\).
- \(F_k\) — событие, что до \(k\)-ого броска ни разу не выпадало число из \(\{1,3,5\}\).
Тогда,
\[
P_k = P(\text{выпало } \{1,3,5\} \text{ на }k\text{-ом} \text{ и раньше этого не было}).
\]
По определению:
\[
P_k = P(F_{k-1}) \times P(E_k).
\]
Шаг 3: Вычислим \(P(F_{k-1})\) и \(P(E_k)\)
- Вероятность, что на одном броске выпало число из \(\{1,3,5\}\):
\[ p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]
- Вероятность, что на одном броске не выпало число из \(\{1,3,5\}\):
\[ 1 - p = \frac{1}{2}. \]
Шаг 4: Вычислим \(P(F_{k-1})\)
Это — вероятность, что до броска №k ни разу не было выпадения числа из \(\{1,3,5\}\), то есть все предыдущие \(k-1\) бросков показывали числа из \(\{2, 4, 6\}\):
\[ P(F_{k-1}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}. \]
Шаг 5: Вычислим \(P(E_k)\)
Это — вероятность, что на \(k\)-ом броске выпало число из \(\{1,3,5\}\):
\[ P(E_k) = \frac{1}{2}. \]
Итог:
\[ P_k = P(F_{k-1}) \times P(E_k) = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^k. \]
Шаг 6: Найдём сумму для \(k=2,3,4\)
\[ P = P_2 + P_3 + P_4 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^4. \]
Подставим значения:
\[ P = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}. \]
Приведем к общему знаменателю 16:
\[ P = \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{7}{16} } \]
Это и есть вероятность того, что при бросании кубика выпадет число 1, 3 или 5 впервые на втором, третьем или четвертом броске.
