Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две…
Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10)
Давайте поэтапно разберем задачу.
Шаг 1. Построение графика функции
У нас есть функция, заданная кусочно:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]
А) Построим график для каждого участка:
Для \( x \geq -2 \):
Это парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \).
Вершина параболы:
Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \):
\[ x_v = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5 \]
Значение в вершине:
\[ y_v = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \]
Точка на графике при \( x = -2 \):
\[ y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \cdot 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \]
Так как \( x \geq -2 \), то эта точка включена в участок.
Для \( x < -2 \):
Это прямая \( y = x + 2 \).
В точке \( x = -2 \):
\[ y = -2 + 2 = 0 \]
Шаг 2. Построим график и отметим точки
- Парабола открыта вверх, вершина находится в точке \( (-1.5, -1.5) \).
- Парабола достигает значения \( y = -1.5 \) в вершине.
- Также в точке \( x = -2 \), \( y = -1 \) (так как \( y = 2x^2 + 6x + 3 \)), но поскольку по условию для этого участка начинается при \( x \geq -2 \), то граница — это точка \( (-2, -1) \).
Шаг 3. Построение прямой \( y = m \):
Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках.
Шаг 4. Анализ случаев пересечения
Пересечения для каждого участка:
Для линии \( y = m \):
На участке \( x \geq -2 \):
\[ 2x^2 + 6x + 3 = m \]
Это квадратическое уравнение:
\[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \]
Для реальных решений условие:
\[ \Delta_1 = (6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) \geq 0 \]
\[ 36 - 8(3 - m) \geq 0 \]
\[ 36 - 24 + 8m \geq 0 \]
\[ 12 + 8m \geq 0 \]
\[ 8m \geq -12 \]
\[ m \geq -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1.5 \]
— Анализируйте корни квадратического уравнения, чтобы определить их количество и положение.
Количество и местоположение корней зависит от дискриминанта и условий для \( x \geq -2 \):
Для \( y = m \leq -1.5 \):
Внутри квадратичного уравнения:
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{\Delta_1}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{\Delta_1}}{4} \]
Посчитаем границы для \( m \):
Шаг 5. Область для \( m \)
Поскольку \( 2x^2 + 6x + 3 \) — парабола, минимальное значение функции — в вершине \( y = -1.5 \):
- Значения \( y \geq -1.5 \): парабола пересекается с линией \( y = m \) в двух или одной точке.
Шаг 6. Пересечения с линейной частью
Для \( x < -2 \):
\[ y = x + 2 \]
Пересечение с \( y = m \) при:
\[ x + 2 = m \implies x = m - 2 \]
Чтобы точка пересечения находится слева от \( -2 \):
\[ m - 2 < -2 \implies m < 0 \]
Итоговая проверка
Ровно два пересечения с графиком функции достигаются, когда:
Прямая \( y = m \) касается графика в двух точках, т.е. уравнение имеет ровно два корня, причем оба эти корня лежат в соответствующих интервалах.
В случае касания (один общий корень) — это не подходит, так как нужно ровно два пересечения.
Итоговая формулировка и ответ:
Для парной области (квадратической части) — более вероятно, что прямая пересекает параболу в двух точках, когда её уровень \( m \) лежит в диапазоне между значениями на вершине:
\[ m \in (-1.5, +\infty) \]
— низшее значение — \( -1.5 \).
Для линейной части \( y = x + 2 \), пересечение с \( y = m \):
\[ x = m - 2 \]
И чтобы это пересечение было:
- Только в одном месте, либо, если необходимо две точки, — учитывать ситуацию с пересечением на границе.
Ответ
Чтобы прямые имели ровно две точки пересечения, необходимо, чтобы \( m \) было:
- Меньше \( -1.5 \), потому что тогда линия пересекает только линейную часть \( x + 2 \) в точке \( x = m - 2 \), при этом эта точка должна быть меньше \( -2 \), то есть:
\[ m - 2 < -2 \implies m < 0 \]
- И при этом, чтобы парабола в области \( x \geq -2 \) не пересекалась с линией \( y = m \), либо — пересекала только один раз (касание).
Общий ответ:
Параметр \( m \), при котором прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции, — это диапазон \(-1.5;0)\).
Записываем ответ в требуемом виде без пробелов:
Ответ: -1.5;0
Если нужно точнее, то, скорее всего, диапазон — \(-1.5;0)\).
Если есть вопрос или нужно более точное описание, я готов помочь!
