Построй график функции  { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 ​ и определи, при каких значениях  m m прямая  y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10)

Давайте поэтапно разберем задачу. --- ### Шаг 1. Построение графика функции У нас есть функция, заданная кусочно: \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \] **А) Построим график для каждого участка:** #### Для \( x \geq -2 \): Это парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \). - Вершина параболы: Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x_v = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5 \] - Значение в вершине: \[ y_v = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \] - Точка на графике при \( x = -2 \): \[ y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \cdot 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \] Так как \( x \geq -2 \), то эта точка включена в участок. #### Для \( x < -2 \): Это прямая \( y = x + 2 \). - В точке \( x = -2 \): \[ y = -2 + 2 = 0 \] --- ### Шаг 2. Построим график и отметим точки - Парабола открыта вверх, вершина находится в точке \( (-1.5, -1.5) \). - Парабола достигает значения \( y = -1.5 \) в вершине. - Также в точке \( x = -2 \), \( y = -1 \) (так как \( y = 2x^2 + 6x + 3 \)), но поскольку по условию для этого участка начинается при \( x \geq -2 \), то граница — это точка \( (-2, -1) \). --- ### Шаг 3. Построение прямой \( y = m \): Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график **ровно в двух точках**. --- ### Шаг 4. Анализ случаев пересечения Пересечения для каждого участка: - Для линии \( y = m \): **На участке \( x \geq -2 \):** \[ 2x^2 + 6x + 3 = m \] Это квадратическое уравнение: \[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \] Для реальных решений условие: \[ \Delta_1 = (6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) \geq 0 \] \[ 36 - 8(3 - m) \geq 0 \] \[ 36 - 24 + 8m \geq 0 \] \[ 12 + 8m \geq 0 \] \[ 8m \geq -12 \] \[ m \geq -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1.5 \] — **Анализируйте корни квадратического уравнения, чтобы определить их количество и положение.** Количество и местоположение корней зависит от дискриминанта и условий для \( x \geq -2 \): - Для \( y = m \leq -1.5 \): Внутри квадратичного уравнения: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{\Delta_1}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{\Delta_1}}{4} \] Посчитаем границы для \( m \): ### Шаг 5. Область для \( m \) Поскольку \( 2x^2 + 6x + 3 \) — парабола, минимальное значение функции — в вершине \( y = -1.5 \): - Значения \( y \geq -1.5 \): парабола пересекается с линией \( y = m \) в двух или одной точке. --- ### Шаг 6. Пересечения с линейной частью - Для \( x < -2 \): \[ y = x + 2 \] Пересечение с \( y = m \) при: \[ x + 2 = m \implies x = m - 2 \] Чтобы точка пересечения находится слева от \( -2 \): \[ m - 2 < -2 \implies m < 0 \] --- ### Итоговая проверка - **Ровно два пересечения с графиком функции** достигаются, когда: 1. **Прямая** \( y = m \) касается графика в двух точках, т.е. уравнение имеет ровно два корня, причем оба эти корня лежат в соответствующих интервалах. 2. В случае касания (один общий корень) — это не подходит, так как нужно ровно два пересечения. --- ### Итоговая формулировка и ответ: - Для парной области (квадратической части) — более вероятно, что прямая пересекает параболу в двух точках, когда её уровень \( m \) лежит в диапазоне между значениями на вершине: \[ m \in (-1.5, +\infty) \] — низшее значение — \( -1.5 \). - Для линейной части \( y = x + 2 \), пересечение с \( y = m \): \[ x = m - 2 \] И чтобы это пересечение было: - Только в одном месте, либо, если необходимо две точки, — учитывать ситуацию с пересечением на границе. --- ### **Ответ** Чтобы прямые имели ровно две точки пересечения, необходимо, чтобы \( m \) было: - Меньше \( -1.5 \), потому что тогда линия пересекает только линейную часть \( x + 2 \) в точке \( x = m - 2 \), при этом эта точка должна быть меньше \( -2 \), то есть: \[ m - 2 < -2 \implies m < 0 \] - И при этом, чтобы парабола в области \( x \geq -2 \) не пересекалась с линией \( y = m \), либо — пересекала только один раз (касание). --- ### **Общий ответ:** Параметр \( m \), при котором прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции, — это диапазон **\(-1.5;0)\)**. Записываем ответ в требуемом виде без пробелов: **Ответ:** `-1.5;0` --- Если нужно точнее, то, скорее всего, диапазон — **\(-1.5;0)\)**. --- Если есть вопрос или нужно более точное описание, я готов помочь!