Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во…

Давайте решим задачу пошагово, объясняя каждое действие.

Задача: Стрелок стреляет по 5 одинаковым мишеням. На каждую мишень делается не более двух выстрелов. Вероятность попасть по мишени одним выстрелом равна 0,8.

Нужно найти отношение вероятности того, что стрелок поразит ровно 5 мишеней, к вероятности того, что он поразит ровно 4 мишени.

---

Шаг 1. Разбор условий и событий

• Вероятность поразить мишень одним выстрелом: \( p = 0,8 \).
• Вероятность не поразить: \( q = 1 - p = 0,2 \).
• Мишень может быть поражена 0, 1 или 2 разами (так как не более двух выстрелов на мишень).

---

Шаг 2. Можно ли поразить мишень более одного раза?

Нет, так как всего есть только по два выстрела на мишень, и вероятность поражения каждым выстрелом равна 0,8. Это говорит о том, что:

• Вероятность поразить мишень ровно один раз (один выстрел по ней был точный, другой – промах):
  \[ P_{1} = 2 \times p \times q = 2 \times 0,8 \times 0,2 = 0,32 \] (так как есть два варианта: первый выстрел попал, второй – промах; или наоборот).

• Вероятность поразить мишень два раза (оба выстрела по ней):
  \[ P_{2} = p \times p = 0,8 \times 0,8 = 0,64 \]

• Вероятность не поразить ни разу (оба промах):
  \[ P_{0} = q \times q = 0,2 \times 0,2 = 0,04 \]

Проверим, сумма всех вероятностей:
\[ P_{0} + P_{1} + P_{2} = 0,04 + 0,32 + 0,64 = 1 \] – всё корректно.

---

Шаг 3. Вероятность поразить ровно 5 мишеней

Это означает, что все пять мишеней поражены хотя бы один раз (по крайней мере по одному выстрелу). Так как по условию, мишень может быть поражена 0, 1 или 2 раза, то:

• Для того чтобы поразить ровно 5 мишеней – все мишени были поражены хотя бы один раз.
• Это событие включает случаи, когда мишени открыты 1 или 2 раза, то есть:

Посчитаем вероятность того, что все мишени были поражены хотя бы один раз.
Поскольку поражение каждого мишени независимо, и мы имеем вероятности для каждого мишени, то:

\[ P(\text{поразить ровно 5 мишеней}) = 1 - P(\text{есть хотя бы одна мишень, которая не поразена вообще}) \]

Вероятность, что мишень не поразена вообще (неважно, сколько выстрелов было сделано), равна \( P_0 = 0,04 \).

Обратное событие — где хотя бы одна мишень не поражена:
\[ P(\text{меньше 5 поразанных}) = 1 - (P_{обе поражены или один раз поражены})^5 \]

Но проще считать вероятность, что траектория поражения такая, что все 5 мишеней поражены хотя бы один раз, то есть суммарный случай, что все мишени имеют либо 1, либо 2 поражения, и сумма таких случаев.

Используем вероятность, что все 5 мишеней не остались без поражения:

\[ P_{\text{выигрыш}} = (P_{1} + P_{2})^5 \]

Где \[ P_{1} + P_{2} = 0,32 + 0,64 = 0,96 \]

Это вероятность, что конкретная мишень была поражена хотя бы один раз.

\[ P(\text{поразить 5 мишеней}) = (0,96)^5 \]

---

Шаг 4. Вероятность поразить ровно 4 мишени

Чтобы поразить ровно 4 мишени, одна из мишеней должна остаться непораженной, а остальные — поражёнными хотя бы один раз.

Вероятность, что одна конкретная мишень не поразена вообще (неважно, сколько выстрелов по ней было): \( P_0 = 0,04 \).

Значит, вероятность, что ровно одна мишень не поражена, а остальные 4 — поражены хотя бы один раз:

\[ C_5^1 \times P_0 \times (P_{1} + P_{2})^4 = 5 \times 0,04 \times (0,96)^4 \]

---

Шаг 5. Итоговые выражения и отношение

Итак,

\[ \boxed{ \text{Вероятность, что поразят ровно 5 мишеней} = (0,96)^5 } \]

и

\[ \boxed{ \text{Вероятность, что поразят ровно 4 мишени} = 5 \times 0,04 \times (0,96)^4 } \]

Нам нужно найти отношение:

\[ \frac{P_5}{P_4} = \frac{(0,96)^5}{5 \times 0,04 \times (0,96)^4} \]

Упростим:

\[ \frac{(0,96)^5}{5 \times 0,04 \times (0,96)^4} = \frac{(0,96)^4 \times 0,96}{5 \times 0,04 \times (0,96)^4} = \frac{0,96}{5 \times 0,04} \]

Посчитаем знаменатель:

\[ 5 \times 0,04 = 0,2 \]

Следовательно,

\[ \frac{0,96}{0,2} = 4,8 \]

---

Ответ:

**Вероятность того, что стрелок поразит ровно 5 мишеней, больше вероятности поразить ровно 4 мишени в в 4,8 раз.