Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Давайте решим задачу пошагово, объясняя каждое действие. **Задача:** Стрелок стреляет по 5 одинаковым мишеням. На каждую мишень делается не более двух выстрелов. Вероятность попасть по мишени одним выстрелом равна 0,8. Нужно найти отношение вероятности того, что стрелок поразит ровно 5 мишеней, к вероятности того, что он поразит ровно 4 мишени. --- ### Шаг 1. Разбор условий и событий - Вероятность поразить мишень одним выстрелом: \( p = 0,8 \). - Вероятность не поразить: \( q = 1 - p = 0,2 \). - Мишень может быть поражена 0, 1 или 2 разами (так как не более двух выстрелов на мишень). --- ### Шаг 2. Можно ли поразить мишень более одного раза? Нет, так как всего есть только по два выстрела на мишень, и вероятность поражения каждым выстрелом равна 0,8. Это говорит о том, что: - Вероятность поразить мишень ровно один раз (один выстрел по ней был точный, другой – промах): \[ P_{1} = 2 \times p \times q = 2 \times 0,8 \times 0,2 = 0,32 \] (так как есть два варианта: первый выстрел попал, второй – промах; или наоборот). - Вероятность поразить мишень два раза (оба выстрела по ней): \[ P_{2} = p \times p = 0,8 \times 0,8 = 0,64 \] - Вероятность не поразить ни разу (оба промах): \[ P_{0} = q \times q = 0,2 \times 0,2 = 0,04 \] Проверим, сумма всех вероятностей: \[ P_{0} + P_{1} + P_{2} = 0,04 + 0,32 + 0,64 = 1 \] – всё корректно. --- ### Шаг 3. Вероятность поразить ровно 5 мишеней Это означает, что все пять мишеней поражены хотя бы один раз (по крайней мере по одному выстрелу). Так как по условию, мишень может быть поражена 0, 1 или 2 раза, то: - Для того чтобы поразить ровно 5 мишеней – все мишени были поражены хотя бы один раз. - Это событие включает случаи, когда мишени открыты 1 или 2 раза, то есть: Посчитаем вероятность того, что все мишени были поражены хотя бы один раз. Поскольку поражение каждого мишени независимо, и мы имеем вероятности для каждого мишени, то: \[ P(\text{поразить ровно 5 мишеней}) = 1 - P(\text{есть хотя бы одна мишень, которая не поразена вообще}) \] Вероятность, что мишень не поразена вообще (неважно, сколько выстрелов было сделано), равна \( P_0 = 0,04 \). Обратное событие — где хотя бы одна мишень не поражена: \[ P(\text{меньше 5 поразанных}) = 1 - (P_{обе поражены или один раз поражены})^5 \] Но проще считать вероятность, что траектория поражения такая, что все 5 мишеней поражены хотя бы один раз, то есть суммарный случай, что все мишени имеют либо 1, либо 2 поражения, и сумма таких случаев. Используем вероятность, что все 5 мишеней не остались без поражения: \[ P_{\text{выигрыш}} = (P_{1} + P_{2})^5 \] Где \[ P_{1} + P_{2} = 0,32 + 0,64 = 0,96 \] Это вероятность, что конкретная мишень была поражена хотя бы один раз. \[ P(\text{поразить 5 мишеней}) = (0,96)^5 \] --- ### Шаг 4. Вероятность поразить ровно 4 мишени Чтобы поразить ровно 4 мишени, одна из мишеней должна остаться непораженной, а остальные — поражёнными хотя бы один раз. Вероятность, что одна конкретная мишень не поразена вообще (неважно, сколько выстрелов по ней было): \( P_0 = 0,04 \). Значит, вероятность, что ровно одна мишень не поражена, а остальные 4 — поражены хотя бы один раз: \[ C_5^1 \times P_0 \times (P_{1} + P_{2})^4 = 5 \times 0,04 \times (0,96)^4 \] --- ### Шаг 5. Итоговые выражения и отношение Итак, \[ \boxed{ \text{Вероятность, что поразят ровно 5 мишеней} = (0,96)^5 } \] и \[ \boxed{ \text{Вероятность, что поразят ровно 4 мишени} = 5 \times 0,04 \times (0,96)^4 } \] Нам нужно найти отношение: \[ \frac{P_5}{P_4} = \frac{(0,96)^5}{5 \times 0,04 \times (0,96)^4} \] Упростим: \[ \frac{(0,96)^5}{5 \times 0,04 \times (0,96)^4} = \frac{(0,96)^4 \times 0,96}{5 \times 0,04 \times (0,96)^4} = \frac{0,96}{5 \times 0,04} \] Посчитаем знаменатель: \[ 5 \times 0,04 = 0,2 \] Следовательно, \[ \frac{0,96}{0,2} = 4,8 \] --- ### **Ответ:** **Вероятность того, что стрелок поразит ровно 5 мишеней, больше вероятности поразить ровно 4 мишени в ****в 4,8 раз**.**