Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- ( ABC ) — прямоугольный треугольник
- ( AC = 3 \sqrt{13} )
- ( CB = 6 )
Нам нужно найти площадь этого треугольника.
Шаг 1: Используем свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это самая длинная сторона, которая противостоит прямому углу.
Поскольку у нас дано ( AC ) и ( CB ), необходимо понять, какая из сторон является гипотенузой. Для этого сравним их длины.
- ( AC = 3 \sqrt{13} )
- ( CB = 6 )
Посчитаем приближенно ( AC ):
[
AC \approx 3 \times 3.6 = 10.8
]
Это больше, чем 6, следовательно, гипотенза — это сторона ( AC ), а катеты — ( CB ) и ( AB ).
Шаг 2: Обозначим стороны
- Пусть ( AB ) — это сторона, которую нужно найти.
- ( AC ) — гипотенуза, ( AC = 3 \sqrt{13} )
- ( CB = 6 )
Шаг 3: Используем теорему Пифагора
[
AC^2 = AB^2 + BC^2
]
Подставляем известные значения:
[
(3 \sqrt{13})^2 = AB^2 + 6^2
]
Вычисляем ( AC^2 ):
[
(3 \sqrt{13})^2 = 3^2 \times (\sqrt{13})^2 = 9 \times 13 = 117
]
Таким образом:
[
117 = AB^2 + 36
]
Находим ( AB^2 ):
[
AB^2 = 117 - 36 = 81
]
Следовательно:
[
AB = \sqrt{81} = 9
]
Шаг 4: Находим площадь
Площадь прямоугольного треугольника равна:
[
S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2
]
Катеты — это стороны ( AB ) и ( CB ):
[
S = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = \frac{1}{2} \times 54 = 27
]
Ответ:
[
\boxed{27}
]
Площадь треугольника равна 27.
