1) Dиашетрокружности, описанной около прамоугольного треугольника, равен 18 см Найти длину медианы, проведенной извершины примого угла этого треугольника, рисунок , объясните и…

Давайте подробно решим задачу. У вас есть прямоугольный треугольник и описанная около него окружность (описанная окружность), радиус которой равен 18 см. Нужно найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла.

---

Шаг 1. Определение данных и обозначений

Обозначим:

• \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник, где угол \( C \) — прямой.
• \( \angle C = 90^\circ \).
• Пусть \( AB \) — гипотенуза.
• \( AC = b \), \( BC = a \).

Радиус описанной окружности — \( R = 18 \) см.

---

Шаг 2. Свойства окружности, описанной около прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности связан с гипотенузой так:

\[ R = \frac{AB}{2} \]

Потому что гипотенуза — диаметр описанной окружности.

Нам дан радиус: \( R = 18 \) см, значит:

\[ AB = 2R = 36 \text{ см} \]

Итак, гипотенуза \( AB = 36 \) см.

---

Шаг 3. Связь сторон и гипотенузы

По теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = (AB)^2 = 36^2 = 1296 \]

Нам нужно найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла \( C \).

---

Шаг 4. Медиана к гипотенузе

Медиана, проведенная к гипотенузе (из \( C \)), имеет некоторые свойства:

• Она делит гипотенузу на две равные части: \( \frac{AB}{2} = 18 \) см.
• В треугольнике медиана из \( C \) к \( AB \) — это медиана к гипотенузе.

Обозначим \( m_c \) — искомая длина медианы из вершины \( C \).

---

Шаг 5. Использование формулы медианы к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы и одновременно является основанием равнобедренного треугольника со стороны медианы и половиной гипотенузы:

\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - AB^2} \]

Но есть более простой способ:

Медиана из прямого угла делит гипотенузу пополам, и по свойству медианы в прямоугольном треугольнике:

\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2} \]

Но из-за свойства радиуса окружности, мы можем использовать формулу:

\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - (2R)^2} \]

или более очевидную:

\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2} \]

а так как \( a^2 + b^2 = 1296 \), то:

\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + b^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 1296} \]

---

Шаг 6. Решение

Подставим значения:

\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2592} \]

Вычислим \( \sqrt{2592} \):

Разложим 2592:

\[ 2592 = 2^5 \times 3^4 \]

\[ \sqrt{2592} = \sqrt{2^5 \times 3^4} = 2^{5/2} \times 3^2 = 2^{2.5} \times 9 \]

\[ 2^{2.5} = 2^{2} \times 2^{0.5} = 4 \times \sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656 \]

Тогда:

\[ \sqrt{2592} \approx 5.656 \times 9 = 50.904 \]

Следовательно:

\[ m_c \approx \frac{1}{2} \times 50.904 \approx 25.45 \]

---

Ответ:

Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, составляет примерно 25,45 см.

---

Если есть вопросы или хотите прорешать другие задачи — пишите!