1) Dиашетрокружности, описанной около прамоугольного треугольника, равен 18 см Найти длину медианы, проведенной извершины примого угла этого треугольника, рисунок , объясните и ответ

Давайте подробно решим задачу. У вас есть прямоугольный треугольник и описанная около него окружность (описанная окружность), радиус которой равен 18 см. Нужно найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла. --- ### Шаг 1. Определение данных и обозначений Обозначим: - \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник, где угол \( C \) — прямой. - \( \angle C = 90^\circ \). - Пусть \( AB \) — гипотенуза. - \( AC = b \), \( BC = a \). Радиус описанной окружности — \( R = 18 \) см. --- ### Шаг 2. Свойства окружности, описанной около прямоугольного треугольника В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности связан с гипотенузой так: \[ R = \frac{AB}{2} \] Потому что гипотенуза — диаметр описанной окружности. Нам дан радиус: \( R = 18 \) см, значит: \[ AB = 2R = 36 \text{ см} \] Итак, гипотенуза \( AB = 36 \) см. --- ### Шаг 3. Связь сторон и гипотенузы По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = (AB)^2 = 36^2 = 1296 \] Нам нужно найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла \( C \). --- ### Шаг 4. Медиана к гипотенузе Медиана, проведенная к гипотенузе (из \( C \)), имеет некоторые свойства: - Она делит гипотенузу на две равные части: \( \frac{AB}{2} = 18 \) см. - В треугольнике медиана из \( C \) к \( AB \) — это медиана к гипотенузе. Обозначим \( m_c \) — искомая длина медианы из вершины \( C \). --- ### Шаг 5. Использование формулы медианы к гипотенузе В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы и одновременно является основанием равнобедренного треугольника со стороны медианы и половиной гипотенузы: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - AB^2} \] Но есть более простой способ: Медиана из прямого угла делит гипотенузу пополам, и по свойству медианы в прямоугольном треугольнике: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2} \] Но из-за свойства радиуса окружности, мы можем использовать формулу: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - (2R)^2} \] или более очевидную: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2} \] а так как \( a^2 + b^2 = 1296 \), то: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + b^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 1296} \] --- ### Шаг 6. Решение Подставим значения: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2592} \] Вычислим \( \sqrt{2592} \): Разложим 2592: \[ 2592 = 2^5 \times 3^4 \] \[ \sqrt{2592} = \sqrt{2^5 \times 3^4} = 2^{5/2} \times 3^2 = 2^{2.5} \times 9 \] \[ 2^{2.5} = 2^{2} \times 2^{0.5} = 4 \times \sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656 \] Тогда: \[ \sqrt{2592} \approx 5.656 \times 9 = 50.904 \] Следовательно: \[ m_c \approx \frac{1}{2} \times 50.904 \approx 25.45 \] --- ### **Ответ:** **Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, составляет примерно 25,45 см.** --- Если есть вопросы или хотите прорешать другие задачи — пишите!