1) Dиашетрокружности, описанной около прамоугольного треугольника, равен 18 см Найти длину медианы, проведенной извершины примого угла этого треугольника объясните и ответ

Рассмотрим задачу подробнее.

Дано:

• Описанная вокруг прямоугольного треугольника окружность радиусом R = 18 см.
• Нужно найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла.

Обозначим:

• Пусть прямоугольный треугольник — это треугольник ABC, где угол C — прямой (90°).
• Пусть стороны против углов A и B — это \(a\) и \(b\), а гипотенуза — это \(c\).

Шаг 1. Связь между окружностью и треугольником

Вписанная окружность (описанная около треугольника с радиусом R) связана с треугольником следующими свойствами:

• Радиус описанной окружности для любого треугольника — радиус, равный \( R = \frac{abc}{4S} \), где \(S\) — площадь треугольника.

Однако, есть более важное свойство: в прямоугольном треугольнике окружность, описанная около него, проходит через все три вершины, и её радиус связан с гипотенузой.

• В прямоугольном треугольнике: радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть
  \[ R = \frac{c}{2}. \]

Шаг 2. Находим гипотенузу

По данной информации:
\[ R = 18\, \text{см} = \frac{c}{2} \Rightarrow c = 2R = 2 \times 18 = 36\, \text{см}. \]

Значит, гипотенуза \(c = 36\, \text{см}\).

Шаг 3. Связь с медианой из прямого угла

Медиана, проведенная из вершины прямого угла \(C\) к гипотенузе \(AB\), делит гипотенузу на две равные части, ведь

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть
  \[ \text{Медиана } m_c = \frac{c}{2}. \]

То есть:
\[ m_c = \frac{36}{2} = 18\, \text{см}. \]

Ответ:

Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна 18 см.

Если нужно более подробно объяснить, почему медиана из прямого угла равна половине гипотенузы:

• В треугольнике из вершины прямого угла медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, потому что эта медиана — радиус окружности, описанной вокруг треугольника, проходящей через все три вершины, а именно, это связано с свойствами прямоугольного треугольника и средней линии гипотенузы.