Рассмотрим задачу подробнее.
Дано:
- Описанная вокруг прямоугольного треугольника окружность радиусом R = 18 см.
- Нужно найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла.
Обозначим:
- Пусть прямоугольный треугольник — это треугольник ABC, где угол C — прямой (90°).
- Пусть стороны против углов A и B — это (a) и (b), а гипотенуза — это (c).
Шаг 1. Связь между окружностью и треугольником
Вписанная окружность (описанная около треугольника с радиусом R) связана с треугольником следующими свойствами:
- Радиус описанной окружности для любого треугольника — радиус, равный ( R = \frac{abc}{4S} ), где (S) — площадь треугольника.
Однако, есть более важное свойство: в прямоугольном треугольнике окружность, описанная около него, проходит через все три вершины, и её радиус связан с гипотенузой.
- В прямоугольном треугольнике: радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть
[ R = \frac{c}{2}. ]
Шаг 2. Находим гипотенузу
По данной информации:
[ R = 18, \text{см} = \frac{c}{2} \Rightarrow c = 2R = 2 \times 18 = 36, \text{см}. ]
Значит, гипотенуза (c = 36, \text{см}).
Шаг 3. Связь с медианой из прямого угла
Медиана, проведенная из вершины прямого угла (C) к гипотенузе (AB), делит гипотенузу на две равные части, ведь
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть
[
\text{Медиана } m_c = \frac{c}{2}.
]
То есть:
[
m_c = \frac{36}{2} = 18, \text{см}.
]
Ответ:
Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна 18 см.
Если нужно более подробно объяснить, почему медиана из прямого угла равна половине гипотенузы:
- В треугольнике из вершины прямого угла медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, потому что эта медиана — радиус окружности, описанной вокруг треугольника, проходящей через все три вершины, а именно, это связано с свойствами прямоугольного треугольника и средней линии гипотенузы.
