Найдите наибольшее и наименьшее значение функции в заданном промежутке: 1) y = x ^ 2 - 6x + 3 2) y = x ^ 2 - 8x + 4 x \in [0; 5] x \in [- 2; 2] 3) y = x - 1/4 * x ^ 2 x \in [- 2;…
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции в заданном промежутке: 1) y = x ^ 2 - 6x + 3 2) y = x ^ 2 - 8x + 4 x \in [0; 5] x \in [- 2; 2] 3) y = x - 1/4 * x ^ 2 x \in [- 2; 4] 4) y = x ^ 2 - 6x + 13 x \in [0; 6] 5) y = 1/2 * x ^ 2 - 1/3 * x ^ 3 x \in [1; 3] ; 6) y = - x ^ 3 + 9x ^ 2 - 24x + 10 , x \in [0; 3] .
Давайте вместе решим каждую задачу по очереди, подробно объясняя все шаги.
Задача 1: \[ y = x^2 - 6x + 3, \quad x \in [0; 5] \]
Шаг 1: Найдём критические точки, где производная равна нулю. \[ y' = 2x - 6 \]
\[ 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \]
Поскольку \( x = 3 \) — внутри интервала, проверим значения функции в точке \(x=3\) и в концах интервала \( x=0 \) и \( x=5 \).
Шаг 2: Вычислим \( y \) в этих точках:
- \( x=0 \):
\[ y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 3 = 3 \]
- \( x=3 \):
\[ y = 3^2 - 6 \cdot 3 + 3 = 9 - 18 + 3 = -6 \]
- \( x=5 \):
\[ y = 25 - 30 + 3 = -2 \]
Ответ:
- максимум — при \( x=0 \), \( y=3 \)
- минимум — при \( x=3 \), \( y=-6 \)
Задача 2: \[ y = x^2 - 8x + 4, \quad x \in [-2; 2] \]
Шаг 1: Найдём критические точки:
\[ y' = 2x - 8 \]
\[ 2x - 8=0 \Rightarrow x=4 \],
но \( x=4 \) — вне интервала \( [-2, 2] \), значит критических точек внутри интервала нет.
Шаг 2: Проверим значения в концах и внутри интервала:
- \( x=-2 \):
\[ y= 4 + 16 + 4= 24 \]
- \( x=2 \):
\[ y= 4 - 16 + 4= -8 \]
Ответ:
- максимум при \( x=-2 \), \( y=24 \)
- минимум при \( x=2 \), \( y=-8 \)
Задача 3: \[ y = x - \frac{1}{4} x^2, \quad x \in [-2; 4] \]
Шаг 1: Находим критические точки:
\[ y' = 1 - \frac{1}{2} x \]
\[ 1 - \frac{1}{2} x=0 \Rightarrow x=2 \]
Это внутри интервала.
Шаг 2: Проверим \( y \) в точках:
- \( x=-2 \):
\[ y=-2 - \frac{1}{4} \cdot 4= -2 - 1= -3 \]
- \( x=2 \):
\[ y=2 - \frac{1}{4} \cdot 4= 2 - 1=1 \]
- \( x=4 \):
\[ y=4 - \frac{1}{4} \cdot 16=4 - 4=0 \]
Ответ:
- максимум при \( x=2 \), \( y=1 \)
- минимум при \( x=-2 \), \( y=-3 \)
Задача 4: \[ y = x^2 - 6x + 13, \quad x \in [0; 6] \]
Шаг 1: Находим критическую точку:
\[ y' = 2x - 6 \]
\[ 2x - 6=0 \Rightarrow x=3 \]
Она внутри интервала.
Шаг 2: Вычислим значения:
- \( x=0 \):
\[ y=0 - 0 + 13=13 \]
- \( x=3 \):
\[ y=9 - 18 + 13=4 \]
- \( x=6 \):
\[ y=36 -36 + 13=13 \]
Ответ:
- максимум при \( x=0 \) или \( x=6 \), \( y=13 \)
- минимум при \( x=3 \), \( y=4 \)
Задача 5: \[ y= \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3, \quad x \in [1; 3] \]
Шаг 1: Находим критические точки:
\[ y' = x - x^2 \]
\[ x(1 - x) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1 \]
Точка \( x=0 \) вне интервала, оставляем \( x=1 \).
Шаг 2: Проверяем \( y \):
- \( x=1 \):
\[ y= \frac{1}{2} - \frac{1}{3}= \frac{3}{6} - \frac{2}{6}= \frac{1}{6} \]
- \( x=3 \):
\[ y= \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 27= \frac{9}{2} - 9= 4.5 - 9= -4.5 \]
Ответ:
- максимум при \( x=1 \), \( y=1/6 \)
- минимум при \( x=3 \), \( y=-4.5 \)
Задача 6: \[ y= - x^3 + 9x^2 - 24x + 10,\quad x \in [0; 3] \]
Шаг 1: Находим критические точки:
\[ y' = -3 x^2 + 18 x - 24 \]
Решаем уравнение:
\[ -3x^2 + 18x -24=0 \] \[ 3x^2 - 18x + 24=0 \] Делим всё на 3:
\[ x^2 - 6x + 8=0 \]
Решение:
\[ x=\frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}=\frac{6 \pm 2}{2} \]
\[ x= \frac{6+2}{2}=4,\quad x= \frac{6-2}{2}=2 \]
Из них \( x=4 \) — вне интервала, остается \( x=2 \).
Шаг 2: Вычислимо значения:
- \( x=0 \):
\[ y=0+0+0+10=10 \]
- \( x=2 \):
\[ y= -8 + 36 - 48 + 10= -8+36=28-48= -20 + 10= -10 \]
- \( x=3 \):
\[ y= -27 + 81 - 72 + 10= -27+81=54-72= -18+10= -8 \]
Ответ:
- максимум — при \( x=0 \), \( y=10 \)
- минимум — при \( x=2 \), \( y=-10 \)
Если нужны ещё пояснения — обращайтесь!
