Давайте разберемся с уравнением:
[ \sin 5x = 1 ]
Цель — понять решение этого уравнения.
Шаг 1: Вспомним свойства функции синус
Функция синуса принимает значение 1 в определенных точках.
В частности, (\sin \theta = 1), когда
[ \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Это означает, что внутри функции синус, аргумент должен равняться (\frac{\pi}{2} + 2\pi k).
Шаг 2: Применим это к нашему уравнению
В нашем случае:
[ 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]
Чтобы найти (x), нужно разделить обе части уравнения на 5:
[ x = \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{5} = \frac{\pi/2 + 2\pi k}{5} ]
Шаг 3: Запишем общее решение
Итак, решение выглядит так:
[
\boxed{
x = \frac{\pi/2 + 2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}
}
]
или более явно:
[
x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5}k, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Итог:
- Все решения уравнения (\sin 5x = 1) — это числа вида (\displaystyle x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} k ), где (k) — любое целое число.
Если что-то неясно или нужно более подробно — скажите!
