В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 5 5 , а другое — 9 9 . Высота трапеции равна 4 4 . Найдите тангенс острого угла трапеции.

Давайте решим задачу шаг за шагом. **Дано:** - равнобедренная трапеция - основания: \(a = 5\), \(b = 9\) (предположим, что \(a\) и \(b\) — основания, причём \(a\) — меньшее) - высота: \(h = 4\) **Найти:** \(\tan \alpha\) — тангенс острого угла трапеции. --- ### Шаг 1: Обозначение и построение Обозначим \(ABCD\) — вершины трапеции так, что \(AB\) и \(DC\) — основания, а \(AB\) — верхнее основание, \(DC\) — нижнее. Пусть: - \(AB = 5\) (верхнее основание) - \(DC = 9\) (нижнее основание) - высота \(h = 4\) Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны. --- ### Шаг 2: Построение вспомогательных фигур Проведем высоту \(AH\) из вершины \(A\) перпендикулярно основаниям, опустим её до точки \(H\). Аналогично, опустим высоту из \(B\) до точки \(K\), чтобы определить расположение боковых сторон. Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны равны, и все боковые части симметричны относительно оси симметрии. ### Шаг 3: Определение длины «зацепа» Рассмотрим нижнее основание \(DC = 9\), а верхнее \(AB = 5\). Величина разницы оснований: \[ 9 - 5 = 4 \] Это означает, что в каждой боковой стороне есть «перекрытие» или «вылет» по обе стороны, так как основание сужается или расширяется симметрично, то есть по 2 на каждую сторону. --- ### Шаг 4: Расчет расстояния по горизонтали от боковой стороны до центра основания Обозначим точку \(O\) — центр трапеции. Тогда расстояние от центра до \(A\) или \(B\): - расстояние между центром и верхним основанием — 2,5 (половина \(AB\)) - также — между центром и нижним основанием — 4,5 (половина \(DC\)) Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны \(AD\) и \(BC\) образуют равнобедренные треугольники с основанием. --- ### Шаг 5: Рассмотрение боковой стороны Обозначим боковую сторону трапеции как \(l\). В прямоугольной фигурке, образованной высотой \(h = 4\) и горизонтальным отрезком \(x\), который равен половине разницы основания: \[ x = \frac{9 - 5}{2} = 2 \] Для одной боковой стороны, треугольник, образованный высотой \(h\), горизонтальным отрезком \(x\) и самой боковой стороной, является прямоугольным. --- ### Шаг 6: Вычисление боковой стороны \(l\) В прямоугольном треугольнике: \[ l = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] ### Шаг 7: Определение угла \(\alpha\) Острый угол \(\alpha\) — это угол при вершине трапеции, образованный боковой стороной и основанием. Давайте найдем \(\tan \alpha\). В данном случае, углу \(\alpha\) соответствует отношение противолежащего катета (высоты \(h\)) к прилежащему (гипотенузе, которая — длина боковой стороны \(l\), или наоборот). Из прямого треугольника: \[ \tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \] сомножим на менее очевидную сторону, поскольку острого угла, образованного боковой стороной и высотой: \[ \boxed{ \tan \alpha = \frac{\text{высота}}{\text{горизонтальный отрезок}} = \frac{h}{x} = \frac{4}{2} = 2 } \] --- ### Итог: **Ответ:** \(\boxed{2}\) Тангенс острого угла трапеции равен **2**. Если есть дополнительные вопросы — спрашивайте!