Сделай
Давайте решать систему неравенств пошагово:
Первое неравенство:
\(6x - 8 \geq 5x - 7\)Второе неравенство:
\(x^2 - 2x - 8 < 0\)
Решение первого неравенства:
\[ 6x - 8 \geq 5x - 7 \]
Вычитаем \(5x\) с обеих частей:
\[ 6x - 5x - 8 \geq -7 \] \[ x - 8 \geq -7 \]
Добавляем 8 к обеим сторонам:
\[ x \geq 1 \]
Первое неравенство решено:
\[ x \geq 1 \]
Решение второго неравенства:
\[ x^2 - 2x - 8 < 0 \]
Это квадратичное неравенство. Сначала найдём корни квадратного уравнения:
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
Используем формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-8\):
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 6}{2} \]
Получаем два корня:
- При "+" : \( x = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- При "−" : \( x = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
Так как квадратичная функция \(x^2 - 2x - 8\) — парабола, направленная вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен), то выражение меньше нуля в интервале между корнями:
\[ -2 < x < 4 \]
Итог:
Объединяем условия:
- Из первого: \(x \geq 1\)
- Из второго: \(-2 < x < 4\)
Наиболее строгие условия — это пересечение этих множеств:
\[ x \geq 1 \; \text{и} \; -2 < x < 4 \]
Это значит, что решение — это все \(x\), которые одновременно не меньше 1 и при этом меньше 4, и при этом больше -2 (что уже выполнено, т.к. \(x \geq 1\) автоматически больше -2).
Итак, решение системы:
\[ \boxed{ x \in [1, 4) } \]
То есть, \(x\) принадлежит интервалу от 1 до 4 не включая 4.
