Выбрать правильный вариант ответа

Давайте разберемся с задачей поэтапно:

Задача:
При рождении ребенка вероятность рождения мальчика равна 0.512. Нужно найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных мальчиков родится больше, чем девочек.

Обозначим событие:

• Вероятность рождения мальчика: \( p = 0.512 \)
• Вероятность рождения девочки: \( q = 1 - p = 0.488 \)

Объем выборки:

• Общее число новорожденных \( n = 1000 \)

Нам нужно найти вероятность того, что мальчиков будет больше, чем девочек, то есть число мальчиков \( X > 500 \).

• Так как количество мальчиков — это случайная величина, можно моделировать её с помощью биномиального распределения \( \text{Binomial}(n, p) \).

Для больших \( n \) и не очень близких к 0 или 1 вероятностей приближение к нормальному распределению удобно использовать с помощью центральной предельной теоремы.

Шаги решения:

1. Общий вид:
   \[ X \sim \text{Binomial}(n=1000, p=0.512) \]

2. Переход к нормальному приближению:
   \[ X \approx N( \mu, \sigma^2 ) \] где:
   \[ \mu = np = 1000 \times 0.512 = 512 \]
   \[ \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{1000 \times 0.512 \times 0.488} \approx \sqrt{125.376} \approx 11.2 \]

3. Вероятность \( P(X > 500) \):
   При переходе к нормальному распределению:
   \[ P(X > 500) \approx P\left( Z > \frac{500 + 0.5 - \mu}{\sigma} \right) \] здесь использовано смещение на 0.5 для непрерывного приближения (коррекция Віньяна).

Подставим значения:
\[ Z = \frac{500 + 0.5 - 512}{11.2} = \frac{500.5 - 512}{11.2} \approx \frac{-11.5}{11.2} \approx -1.0268 \]

4. Находим вероятность \( P(Z > -1.0268) \):
   Значение \( P(Z > -1.0268) \) равно:
   \[ 1 - P(Z < -1.0268) \]

Из таблицы стандартного нормального распределения:
\[ P(Z < -1.0268) \approx 0.152 \]

Тогда:
\[ P(Z > -1.0268) = 1 - 0.152 = 0.848 \]

Ответ: вероятность того, что мальчиков будет больше, чем девочек, примерно равна 0.848.

Теперь выбираем самый подходящий вариант из предложенных:

• 0,758
• 0,535
• 0,387
• 0,694

Наиболее близкое значение — 0,758.

Проведенный расчет показывает, что правильный ответ — это вариант 0,758.

Если есть дополнительные вопросы или нужен другой формат объяснения — скажите!