Давайте разберём задачу по шагам.
Дано:
- ( \angle C = 90^\circ ) (треугольник прямоугольный в точке C)
- ( \sin B = \frac{5}{8} )
- ( AB = 16 ) (гипотенуза)
Нужно найти ( AC ).
Шаг 1. Обозначим стороны и углы
В прямоугольном треугольнике:
- ( \angle C = 90^\circ )
- ( \angle A ) и ( \angle B ) — острые углы.
Обозначим стороны:
- ( AB ) — гипотенуза (против ( \angle C )).
- ( AC ) — катет, против ( ( \angle B )).
- ( BC ) — катет, против ( (\angle A) ).
Шаг 2. Связи между сторонами и углами
Безусловно, для острых углов в прямоугольнике:
[
\sin B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.
]
Но поскольку, помним, что:
[
\sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.
]
Значит:
[
\sin B = \frac{\text{противолежащий катет к } B}{AB}.
]
Поскольку ( AB ) — гипотенуза, и ( \angle B ) — угол у вершины B напротив стороны ( AC ), то:
- Противолежащий катет ( AC ).
- Прилежащий катет ( BC ).
Поэтому:
[
\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{16}.
]
Теперь подставим значение (\sin B = \frac{5}{8}):
[
\frac{AC}{16} = \frac{5}{8}.
]
Шаг 3. Найдём ( AC )
Решим уравнение:
[
AC = 16 \times \frac{5}{8} = 16 \times \frac{5}{8} = (16 \div 8) \times 5 = 2 \times 5 = 10.
]
Ответ:
[
\boxed{AC = 10}
]
Результат: сторона ( AC ) равна 10.
Если нужно дальнейшее объяснение или есть вопросы — пожалуйста, скажите!
