8.20. Пробное выборочное обследование каждого сорокового малого предприятия области привело к следующим результатам: Численность штатных работников, чел. до 5 6 - 10 11 - 15 16 и…
8.20. Пробное выборочное обследование каждого сорокового малого предприятия области привело к следующим результатам: Численность штатных работников, чел. до 5 6 - 10 11 - 15 16 и более Число предприятий 36 18 7 2 Определите, каким должен быть интервал отбора при механи- ческой выборке, чтобы получить данные о средней численности занятых на малых предприятиях с точностью ±1 чел. при уровне вероятности 0,997. Интервал равен 18, как получить
Рассмотрим задачу поэтапно.
Дано:
- Область обследует каждое 40-е малое предприятие.
- Объем выборки: выбирается каждое 40-е предприятие (выборочная доля \( p = \frac{1}{40} = 0,025 \)).
- Задан уровень доверия: 0,997.
- Требуемая точность оценки средней численности работников: \( \pm 1 \) чел.
- Данные по численности работников в предприятиях разбиты по группам с частотами (части выборки).
Шаг 1. Построение модели выборки
Поскольку выборка выбирается механическим методом через каждое 40-е предприятие, то объем выборки (общее число обследованных предприятий) при общем числе предприятий \( N \) составляет:
\[ n = \frac{N}{40} \]
но точных данных о общем числе предприятий в области у нас нет, поэтому для вычисления интервала отбора мы используем приближенную формулу для выборочного среднего.
Шаг 2. Построение доверительного интервала для среднего
Нам нужно определить интервал, чтобы при выборке случайная ошибка в оценке среднего числа работников была не более ±1 чел при доверительной вероятности 0,997.
Доверительный уровень 0,997 соответствует z-значению (критическому значению стандартной нормальной распределения) около 3.00 (приблизительно).
Шаг 3. Оценка дисперсии (или стандартного отклонения)
Из условия даны группы:
| Численность (чел.) | Количество предприятий |
|---|---|
| до 5 | 36 |
| 6-10 | 18 |
| 11-15 | 7 |
| 16 и более | 2 |
Для быстрого приближения возьмем средние значения по группам:
- До 5 чел: считаем это примерно 3
- 6–10 чел: — примерно 8
- 11–15 чел: — примерно 13
- 16 и более: — условно возьмем 20 (чтобы учесть диапазон и иметь более консервативный подход)
Шаг 4. Расчет дисперсии выборки
Считаем среднее значение:
\[ \bar{x} = \frac{36 \times 3 + 18 \times 8 + 7 \times 13 + 2 \times 20}{36 + 18 + 7 + 2} \]
Общий объем:
\[ N_{total} = 36 + 18 + 7 + 2 = 63 \]
Вычисляем сумму:
\[ = 36 \times 3 + 18 \times 8 + 7 \times 13 + 2 \times 20 \] \[ = 108 + 144 + 91 + 40 = 383 \]
Среднее:
\[ \bar{x} = \frac{383}{63} \approx 6.08 \]
Теперь найдём дисперсию \( S^2 \):
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2}{N_{total}-1} \]
где \( n_i \) — количество предприятий в группе, \( x_i \) — среднее значение в группе.
Вычислим сумму квадратичных отклонений:
\[ \sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = 36 \times (3 - 6.08)^2 + 18 \times (8 - 6.08)^2 + 7 \times (13 - 6.08)^2 + 2 \times (20 - 6.08)^2 \]
Вычисляем каждое слагаемое:
- для 3: \( (3 - 6.08)^2 = (-3.08)^2 \approx 9.49 \)
- для 8: \( (8 - 6.08)^2 = (1.92)^2 \approx 3.69 \)
- для 13: \( (13 - 6.08)^2 = 6.92^2 \approx 47.88 \)
- для 20: \( (20 - 6.08)^2 = 13.92^2 \approx 193.78 \)
Умножаем на количество предприятий в группе:
- \(36 \times 9.49 \approx 341.64\)
- \(18 \times 3.69 \approx 66.42\)
- \(7 \times 47.88 \approx 335.16\)
- \(2 \times 193.78 \approx 387.56\)
Общая сумма:
\[ 341.64 + 66.42 + 335.16 + 387.56 \approx 1130.78 \]
Дисперсия:
\[ S^2 = \frac{1130.78}{63 - 1} = \frac{1130.78}{62} \approx 18.23 \]
Стандартное отклонение:
\[ S \approx \sqrt{18.23} \approx 4.28 \]
Шаг 5. Расчет необходимого объёма выборки \( n \)
Формула для определения точности:
\[ E = z \times \frac{S}{\sqrt{n}} \]
где:
- \( E \) — допустимая погрешность (1 чел),
- \( z \approx 3.00 \) (для доверия 0,997),
- \( S \approx 4.28 \).
Перепишем для \( n \):
\[ n = \left( \frac{z \times S}{E} \right)^2 \]
Подставляем числа:
\[ n = \left( \frac{3.00 \times 4.28}{1} \right)^2 = (12.84)^2 \approx 165 \]
Шаг 6. Определение интервала отбора
Если выбирается каждое 40-е предприятие, то если всего предприятий \( N \), то выборка — около:
\[ n \approx \frac{N}{40} \]
равна этому значению, значит:
\[ N \approx 40 \times n \approx 40 \times 165 = 6600 \]
Ответ:
Чтобы получить данные с точностью ±1 чел при доверии 99,7 %, необходимо обследовать примерно 165 предприятий.
Интервал отбора: каждое 40-е предприятие (так как исходные данные предполагают выборку через систематический отбор с шагом 40).
Поэтому интервал равен 40.
Вывод:
– Интервал отбора составляет 40.
– Общее число предприятий — около 6600, чтобы выбрать 165 предприятий по системе "каждое 40-е".
