8.20. Пробное выборочное обследование каждого сорокового малого предприятия области привело к следующим результатам: Численность штатных работников, чел. до 5 6 - 10 11 - 15 16 и более Число предприятий 36 18 7 2 Определите, каким должен быть интервал отбора при механи- ческой выборке, чтобы получить данные о средней численности занятых на малых предприятиях с точностью ±1 чел. при уровне вероятности 0,997. Интервал равен 18, как получить

Рассмотрим задачу поэтапно. **Дано:** - Область обследует каждое 40-е малое предприятие. - Объем выборки: выбирается каждое 40-е предприятие (выборочная доля \( p = \frac{1}{40} = 0,025 \)). - Задан уровень доверия: 0,997. - Требуемая точность оценки средней численности работников: \( \pm 1 \) чел. - Данные по численности работников в предприятиях разбиты по группам с частотами (части выборки). --- ### Шаг 1. Построение модели выборки Поскольку выборка выбирается механическим методом через каждое 40-е предприятие, то объем выборки (общее число обследованных предприятий) при общем числе предприятий \( N \) составляет: \[ n = \frac{N}{40} \] но точных данных о общем числе предприятий в области у нас нет, поэтому для вычисления интервала отбора мы используем приближенную формулу для выборочного среднего. --- ### Шаг 2. Построение доверительного интервала для среднего Нам нужно определить интервал, чтобы при выборке случайная ошибка в оценке среднего числа работников была не более ±1 чел при доверительной вероятности 0,997. Доверительный уровень 0,997 соответствует z-значению (критическому значению стандартной нормальной распределения) около 3.00 (приблизительно). --- ### Шаг 3. Оценка дисперсии (или стандартного отклонения) Из условия даны группы: | Численность (чел.) | Количество предприятий | |---------------------|------------------------| | до 5 | 36 | | 6-10 | 18 | | 11-15 | 7 | | 16 и более | 2 | Для быстрого приближения возьмем средние значения по группам: - До 5 чел: считаем это примерно 3 - 6–10 чел: — примерно 8 - 11–15 чел: — примерно 13 - 16 и более: — условно возьмем 20 (чтобы учесть диапазон и иметь более консервативный подход) ### Шаг 4. Расчет дисперсии выборки Считаем среднее значение: \[ \bar{x} = \frac{36 \times 3 + 18 \times 8 + 7 \times 13 + 2 \times 20}{36 + 18 + 7 + 2} \] Общий объем: \[ N_{total} = 36 + 18 + 7 + 2 = 63 \] Вычисляем сумму: \[ = 36 \times 3 + 18 \times 8 + 7 \times 13 + 2 \times 20 \] \[ = 108 + 144 + 91 + 40 = 383 \] Среднее: \[ \bar{x} = \frac{383}{63} \approx 6.08 \] Теперь найдём дисперсию \( S^2 \): \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2}{N_{total}-1} \] где \( n_i \) — количество предприятий в группе, \( x_i \) — среднее значение в группе. Вычислим сумму квадратичных отклонений: \[ \sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = 36 \times (3 - 6.08)^2 + 18 \times (8 - 6.08)^2 + 7 \times (13 - 6.08)^2 + 2 \times (20 - 6.08)^2 \] Вычисляем каждое слагаемое: - для 3: \( (3 - 6.08)^2 = (-3.08)^2 \approx 9.49 \) - для 8: \( (8 - 6.08)^2 = (1.92)^2 \approx 3.69 \) - для 13: \( (13 - 6.08)^2 = 6.92^2 \approx 47.88 \) - для 20: \( (20 - 6.08)^2 = 13.92^2 \approx 193.78 \) Умножаем на количество предприятий в группе: - \(36 \times 9.49 \approx 341.64\) - \(18 \times 3.69 \approx 66.42\) - \(7 \times 47.88 \approx 335.16\) - \(2 \times 193.78 \approx 387.56\) Общая сумма: \[ 341.64 + 66.42 + 335.16 + 387.56 \approx 1130.78 \] Дисперсия: \[ S^2 = \frac{1130.78}{63 - 1} = \frac{1130.78}{62} \approx 18.23 \] Стандартное отклонение: \[ S \approx \sqrt{18.23} \approx 4.28 \] --- ### Шаг 5. Расчет необходимого объёма выборки \( n \) Формула для определения точности: \[ E = z \times \frac{S}{\sqrt{n}} \] где: - \( E \) — допустимая погрешность (1 чел), - \( z \approx 3.00 \) (для доверия 0,997), - \( S \approx 4.28 \). Перепишем для \( n \): \[ n = \left( \frac{z \times S}{E} \right)^2 \] Подставляем числа: \[ n = \left( \frac{3.00 \times 4.28}{1} \right)^2 = (12.84)^2 \approx 165 \] ### Шаг 6. Определение интервала отбора Если выбирается каждое 40-е предприятие, то если всего предприятий \( N \), то выборка — около: \[ n \approx \frac{N}{40} \] равна этому значению, значит: \[ N \approx 40 \times n \approx 40 \times 165 = 6600 \] --- ### **Ответ:** Чтобы получить данные с точностью ±1 чел при доверии 99,7 %, необходимо обследовать примерно 165 предприятий. Интервал отбора: **каждое 40-е предприятие** (так как исходные данные предполагают выборку через систематический отбор с шагом 40). **Поэтому интервал равен 40.** --- **Вывод:** – Интервал отбора составляет 40. – Общее число предприятий — около 6600, чтобы выбрать 165 предприятий по системе "каждое 40-е".