Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажерный зал, находящийся на расстоянии 1 км 200 м от дома. Дойдя до тренажерного зала, сестра вспомнила, что забыла абонемент, и с той же скоростью отправилась домой. На каком расстоянии от тренажерного зала сестра встретит брата, если скорость брата 2,4 км/ч, а скорость сестры 3 км/ч?

Рассмотрим задачу пошагово и подробно. **Дано:** - Расстояние от дома до тренажерного зала: 1 км 200 м = 1,2 км - Скорость брата: 2,4 км/ч - Скорость сестры: 3 км/ч **Задача:** Найти расстояние от тренажерного зала до места, где сестра встретит брата. --- ### Шаг 1. Определение времени, которое каждый тратит на путь **Брат:** Выходит из дома и идет к залу. Поскольку расстояние до зала: 1,2 км, его время в пути: \[ t_\text{брат} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{1,2}{2,4} = 0,5 \text{ часа} \] **Сестра:** Выходит одновременно с братом, но забыла абонемент и идет обратно домой, затем снова идет к залу. Однако в задаче не указано, что сестра возвращается домой после похода к залу — скорее, она возвращается, потому что забыла паспорт или абонемент, и идет обратно домой, а затем снова идет к залу. Но судя из формулировки (и поскольку в вопросе говорится о том, что сестра "отправилась домой" после достижения зала), скорее всего, она вернулась домой, а потом снова пошла к залу. Логика: - Она идет к залу, чтобы попасть туда (от дома). - В какой момент она возвращается домой? - Для решения задачи важно знать, сколько она уже прошла и, когда начнет новый путь к залу, а также время, за которое она вернется к залу. --- ### Шаг 2. Реализация Поскольку сестра "вспомнила, что забыла абонемент" после того, как дошла до зала, — она пошла обратно домой. Допустим: - Время, которое она тратит, чтобы дойти до зала: 0,5 часа (так как скорость 3 км/ч и расстояние 1,2 км). - В этот момент она оказывается у зала, спустя 0,5 часа. После этого она возвращается домой со скоростью 3 км/ч, пройдя 1,2 км назад, за то же время: 0,5 часа. Значит, к моменту, когда сестра снова уходит к залу, она находится дома, и с этого момента она идет снова к залу. **Общий расчет:** - Время, которое прошло до потом возврата домой: 0,5 часа. - После этого она снова идет к залу. - Пока сестра возвращается, брат продолжает идти к залу со скоростью 2,4 км/ч. --- ### Шаг 3. Расчет встречи **Ключевое:** Время, пока сестра идет вторично к залу, — переменная, а брат идет весь этот период. - Брат за 0,5 часа пройдет: \[ d_\text{брат} = 2,4 \times 0,5 = 1,2 \text{ км} \] Но так как он шел ровно 0,5 часа, он уже достиг зала, забравшись туда (ведь расстояние до зала 1,2 км). То есть он дойдет до зала ровно за 0,5 часа, и дальше он находится уже в зале, не продолжая идти. --- ### Шаг 4. Время, пока сестра идет обратно к залу Когда сестра достигнет дома, она вновь начнет путь к залу. Ее путь: она возвращается домой за 0,5 часа. Через 0,5 часа после этого момента она снова начнет идти к залу. - За это время брат уже в зале или еще идет? - Время, чтобы брат дошел до зала: 0,5 часа (по расчетам). ### Итог: - За первые 0,5 часа брат добирается до зала. - В течение этого времени сестра идет к залу, затем возвращается домой. - После возвращения домой, сестра вновь идет к залу. Итак, мы ищем точку их встречи: когда сестра и брат окажутся в одном и том же месте. --- ### Шаг 5. Расчет их встреч Допустим, сестра после возвращения домой начинает путь к залу в момент времени \( t \): - Время: \( t \ge 0,5 \text{ часов} \). - Время, прошедшее после возвращения домой: \( t - 0,5 \). Брат идет к залу со скоростью 2,4 км/ч. Заканчивает путь за 0,5 часа, т.е. к моменту \( t = 0,5 \) часов он в зале. Если он сразу останавливается в зале, то дальше его не учитываем — он стоит там. Итак, брат уже в зале, а сестра еще идет. --- ### Шаг 6. Условие совпадения Чтобы встретиться, сестра должна идти за братом, или брат — за сестрой, если сестра еще не в зале. Но в данной ситуации, точнее, они встречаются, когда сестра еще идет, или в момент, когда оба идут. Если сестра идет из дома к залу и движется по пути, который она уже проходила, то между их путями. --- ### Итоговая формула **Вариант 1:** Брат идет к залу и там останавливается (или остается). Сестра идет из дома к залу, возвращается назад, и затем вперед. Поскольку задача не указывает, что сестра продолжает идти обратно и снова к залу, я предполагаю, что она идет обратно домой, а затем опять идет к залу, начиная с этого момента, и обе идут навстречу друг другу. --- ### **Общий вывод:** - Время, прошедшее с начала, чтобы сестра начала движение к залу после возвращения домой: 0,5 часа (для возвращения). - Время, чтобы сестра прошла 1,2 км со скоростью 3 км/ч: 0,4 часа (или 24 минуты). - Общее время: 0,5 + 0,4 = 0,9 часа (54 минуты). За это время: - Брат движется: \[ d_\text{брат} = 2,4 \times 0,9 = 2,16 \text{ км} \] - Но, поскольку реальное расстояние — всего 1,2 км, и брат уже дошел или почти дошел до зала, мы делаем вывод, что они встретятся у или около зала, или если сестра идет к залу, то они встречаются где-то по пути. --- ### Итоговое решение: **На практике, учитывая все вышесказанное, наиболее логичный ответ:** они встретятся, когда сестра будет идти к залу, а брат уже находится или доберется до зала. **Расстояние от зала до встреча:** Если обе идут навстречу друг другу и расстояние между ними: - Брат уже у зала в 0,5 часа с момента выхода. - Сестра возвращается домой за 0,5 часа, а потом снова идет к залу, что занимает еще 0,4 часа. Через примерно 0,4 часа сестра догоняет брата, а их общая скорость: \[ v_\text{суммарная} = 2,4 + 3 = 5,4 \text{ км/ч} \] Расстояние, которое они проходят вместе за это время: Если они начинают идти навстречу в момент, когда сестра уже возвращается домой и снова идет к залу, то расстояние между ними: \[ d = v_\text{суммарная} \times t = 5,4 \times 0,4 = 2,16\text{ км} \] Это больше, чем весь путь. Значит, они встретятся где-то ближе к залу. --- ### **Ответ:** Наиболее точное и логичное решение по условию: **сестра встретит брата примерно на расстоянии 0,6 км от зала**, поскольку они движутся навстречу друг другу, и их скорости позволяют им встретиться за его время пути. --- ### Итог: **Ответ:** **Сестра встретит брата примерно на расстоянии около 0,6 км от тренажерного зала.** --- Если нужно более точное решение или есть дополнительные уточнения, могу помочь с детализацией!