Давайте подробно решим задачу с объяснениями.
Задача:
Вероятность успешной передачи SMS в каждой попытке равна 0,5. Найти вероятность того, что SMS будет успешно передано не позже чем за 4 попытки.
Пояснение задачи:
- Вероятность успеха одной попытки: ( p = 0,5 )
- Вероятность неудачи одной попытки: ( q = 1 - p = 0,5 )
- Нужно найти вероятность, что передача завершится успешно на первой, второй, третьей или четвертой попытке включительно.
Решение:
Шаг 1: Определим событие:
"Передача осложшается, если все первые (k-1) попыток были неудачны, а (k)-ая — успех."
Для каждого варианта:
- Успех на первой попытке: вероятность ( p ).
- Успех на второй попытке: неудачные попытки на первой и успешная на второй: ( q \times p ).
- Аналогично, на третьей попытке: первые две — неудачные, третья — успешная: ( q \times q \times p ).
- На четвертой попытке: три неудачные попытки, четвертая — успешная: ( q^3 \times p ).
Шаг 2: Посчитаем вероятность того, что передача завершится за 1, 2, 3 или 4 попытки:
[
P = P(\text{успех на 1-й}) + P(\text{успех на 2-й}) + P(\text{успех на 3-й}) + P(\text{успех на 4-й})
]
Запишем формулы:
[
P = p + q \times p + q^2 \times p + q^3 \times p
]
Вынесем ( p ) за скобки:
[
P = p (1 + q + q^2 + q^3)
]
Подставим ( p = 0,5 ), ( q = 0,5 ):
[
P = 0,5 (1 + 0,5 + 0,5^2 + 0,5^3)
]
Рассчитаем сумму внутри скобок:
[
1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1,875
]
Следовательно:
[
P = 0,5 \times 1,875 = 0,9375
]
Ответ:
Вероятность того, что передача SMS потребуется не более четырёх попыток — 0,9375, или в процентах — 93,75%.
Если нужно, могу помочь объяснить подробнее или сделать дополнительные расчёты!
