Найдите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии (b_{n}) если: A) b_{1} = - 4 q = 3 Найдите сумму суммы первых семи членов геометрической прогрессии: Б) b_{7} = 72, 9…

Давайте подробно решим каждую из поставленных задач.

Задача 1: Найдите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, если:

• \(b_1 = -4\)
• \(q = 3\)

Решение:

1. Обозначим:

   • Первый член прогрессии: \(b_1 = -4\)
   • Мултипликатор или знаменатель прогрессии: \(q = 3\)
   • Количество членов, которые нужно просуммировать: \(n = 9\)

2. Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

3. Подставляем значения: \[ S_9 = -4 \times \frac{3^9 - 1}{3 - 1} \]

4. Вычисляем степень \(3^9\): \[ 3^9 = 3^3 \times 3^3 \times 3^3 = 27 \times 27 \times 27 = 19683 \]

5. Подставляем: \[ S_9 = -4 \times \frac{19683 - 1}{2} = -4 \times \frac{19682}{2} = -4 \times 9841 \]

6. Вычисляем: \[ S_9 = -4 \times 9841 = -39364 \]

Ответ: \[ \boxed{-39364} \]

Задача 2: Найти сумму первых семи членов прогрессии, если:

• \(b_7 = 72\)
• \(9q = 1.5\)

Решение:

1. Обозначим:

   • \(b_7 = 72\)
   • \(q\) — знаменатель прогрессии
   • \(b_1\) — первый член, которую нужно найти
   • \(n = 7\)

2. Сначала выразим \(q\): \[ 9q = 1.5 \Rightarrow q = \frac{1.5}{9} = 0.1666... = \frac{1}{6} \]

3. Обозначим: \[ b_7 = b_1 \times q^{6} \] (так как \(b_7 = b_1 \times q^{7-1}\))

4. Вычислим \(b_1\): \[ b_1 = \frac{b_7}{q^6} \]

5. Подставим значения: \[ b_1 = \frac{72}{(1/6)^6} \]

6. Вычислим \((1/6)^6\): \[ (1/6)^6 = 1/6^6 \] где \(6^6 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 46656\)

7. Тогда: \[ b_1 = 72 \times 46656 \]

8. Посчитаем: \[ b_1 = 72 \times 46656 \]

Вычислим: \[ 72 \times 46656 = 3364352 \]

9. Теперь найдём сумму первых 7 членов: \[ S_7 = b_1 \times \frac{q^7 - 1}{q - 1} \]

10. Вычислим \(q^7\): \[ q^7 = (1/6)^7 = 1/6^7 \] где \(6^7 = 6 \times 6^6 = 6 \times 46656 = 279936\).

Значит: \[ q^7 = 1/279936 \]

11. Подставляем: \[ S_7 = 3364352 \times \frac{(1/279936) - 1}{(1/6) - 1} \]

12. Вычисляем знаменатель: \[ (1/6) - 1 = \frac{1 - 6}{6} = -\frac{5}{6} \]

13. В числителе: \[ \frac{1}{279936} - 1 = \frac{1 - 279936}{279936} = - \frac{279935}{279936} \]

14. Теперь: \[ S_7 = 3364352 \times \frac{- \frac{279935}{279936}}{- \frac{5}{6}} \]

15. Деление двух отрицательных дробей: \[ S_7 = 3364352 \times \frac{279935/279936}{5/6} \]

16. Обращаем делитель: \[ S_7 = 3364352 \times \frac{279935}{279936} \times \frac{6}{5} \]

17. Приблизительно, так как \(279935/279936 \approx 1\), и умножая все:

\[ S_7 \approx 3364352 \times 1 \times \frac{6}{5} = 3364352 \times 1.2 = 4037222.4 \]

Ответ: примерно 4037222.4.

Задача 3: В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду?

Решение:

1. Обозначим:

   • Первый ряд: \(a_1 = 20\)
   • Разность: \(d = 2\)
   • Номер ряда: \(n = 10\)

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

3. Подставляем: \[ a_{10} = 20 + (10 - 1) \times 2 = 20 + 9 \times 2 = 20 + 18 = 38 \]

Ответ: \[ \boxed{38} \]

Задача 4: В течение 10 минут охлаждали вещество, температура уменьшалась на 6°C каждую минуту. Начальная температура была -7°C. Найти температуру через 4 минуты.

Решение:

1. Обозначим:

   • Начальная температура: \(T_0 = -7°C\)
   • Уменьшение температуры за минуту: \(\Delta T = 6°C\)
   • Время: \(t = 4\) минуты

2. Температура через \(t\) минут: \[ T = T_0 - (\text{уменьшение за } t \text{ минут}) \]

3. Вычисляем: \[ T = -7 - 6 \times 4 = -7 - 24 = -31°C \]

Ответ: \[ \boxed{-31°C} \]

Задача 5: В амфитеатре 19 рядов, в каждом следующем на одно место больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 25 мест, а в седьмом — 37. Сколько мест в последнем (19-м) ряду?

Решение:

1. Обозначим:

   • Первый ряд: \(a_1\) (нужно найти)
   • Разность: \(d = 1\) (так как мест больше на 1 в каждом следующем ряду)
   • \(a_3 = 25\)
   • \(a_7 = 37\)
   • Последний, 19-й ряд: \(a_{19}\)

2. Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

3. Используем данные для двух уравнений:

\[ a_3 = a_1 + 2d = 25 \] \[ a_7 = a_1 + 6d = 37 \]

4. Вычитая первое из второго: \[ (a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 37 - 25 \] \[ 4d = 12 \Rightarrow d = 3 \]

5. Находим \(a_1\): \[ a_1 + 2 \times 3 = 25 \Rightarrow a_1 + 6 = 25 \Rightarrow a_1 = 19 \]

6. Теперь ищем \(a_{19}\): \[ a_{19} = a_1 + (19-1)\times d = 19 + 18 \times 3 = 19 + 54 = 73 \]

Ответ: \[ \boxed{73} \]

Если нужны дополнительные объяснения или решения — обращайтесь!