Решите графическое уравнение √x=x-2 Сколько решений имеет уравнение? Введите наименьшее решение уравнения.
Давайте решим уравнение:
\[\sqrt{x} = x - 2\]
Шаг 1: анализ условий на x
- Поскольку слева — корень из x, то x должно быть неотрицательным:
\[x \geq 0\] - Справа — x - 2, поэтому уравнение имеет смысл при любом значении x, так как для x ≥ 0 выражение x - 2 тоже определено.
Шаг 2: избавляемся от корня
Чтобы решить уравнение, возьмём квадрат обоих частей:
\[(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2\]
Тогда:
\[x = (x - 2)^2\]
Раскроем скобки:
\[x = x^2 - 4x + 4\]
Шаг 3: получаем квадратичное уравнение
Перенесем все в левую сторону:
\[x - x^2 + 4x - 4 = 0\]
Объединим подобные:
\[-x^2 + 5x - 4 = 0\]
или
\[x^2 - 5x + 4 = 0\]
Шаг 4: решим квадратное уравнение
Найдем дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9\]
Корни:
\[
x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}
\]
Первый корень:
\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]Второй корень:
\[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Шаг 5: проверка корней на исходное уравнение и условия
Проверим \(x=4\):
\[ \sqrt{4} = 2,\quad x - 2 = 4 - 2 = 2 \]
Совпадает — подходит.Проверим \(x=1\):
\[ \sqrt{1} = 1,\quad x - 2 = 1 - 2 = -1 \]
Не совпадает, значит \(x=1\) — лишний корень, полученный после возведения в квадрат.
Шаг 6: проверка дополнительного условия
- Для \(x=1\), исходное уравнение: \(\sqrt{1} = 1\), а \(x-2 = -1\), не совпадают.
- Для \(x=4\), все проверяется.
Ответ:
- Количество решений — одну — это \(x=4\).
- Наименьшее решение — 4.
Итог:
Количество решений: 1
Наименьшее решение: 4
