Решите графическое уравнение √x=x-2 Сколько решений имеет уравнение? Введите наименьшее решение уравнения.

Давайте решим уравнение: \[\sqrt{x} = x - 2\] **Шаг 1: анализ условий на x** - Поскольку слева — корень из x, то x должно быть неотрицательным: \[x \geq 0\] - Справа — x - 2, поэтому уравнение имеет смысл при любом значении x, так как для x ≥ 0 выражение x - 2 тоже определено. **Шаг 2: избавляемся от корня** Чтобы решить уравнение, возьмём квадрат обоих частей: \[(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2\] Тогда: \[x = (x - 2)^2\] Раскроем скобки: \[x = x^2 - 4x + 4\] **Шаг 3: получаем квадратичное уравнение** Перенесем все в левую сторону: \[x - x^2 + 4x - 4 = 0\] Объединим подобные: \[-x^2 + 5x - 4 = 0\] или \[x^2 - 5x + 4 = 0\] **Шаг 4: решим квадратное уравнение** Найдем дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9\] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] - Первый корень: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] - Второй корень: \[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] **Шаг 5: проверка корней на исходное уравнение и условия** - Проверим \(x=4\): \[ \sqrt{4} = 2,\quad x - 2 = 4 - 2 = 2 \] Совпадает — подходит. - Проверим \(x=1\): \[ \sqrt{1} = 1,\quad x - 2 = 1 - 2 = -1 \] Не совпадает, значит \(x=1\) — лишний корень, полученный после возведения в квадрат. **Шаг 6: проверка дополнительного условия** - Для \(x=1\), исходное уравнение: \(\sqrt{1} = 1\), а \(x-2 = -1\), не совпадают. - Для \(x=4\), все проверяется. **Ответ:** - Количество решений — **одну** — это \(x=4\). - Наименьшее решение — **4**. --- ### Итог: **Количество решений:** 1 **Наименьшее решение:** 4