В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АН = 54, ВС = ВМ . Найдите длину стороны АС.

Давайте подробно разберём задачу и решим её пошагово. **Дано:** - В треугольнике \( ABC \) проведены медиана \( BM \) и высота \( ВН \). - \( AN = 54 \). - \( ВС = ВМ \). **Найти:** длину стороны \( AC \). --- ### Анализ условий и обозначения: 1. \( BM \) — медиана, значит \( M \) — середина стороны \( AC \): \[ M \text{ — середина } AC \Rightarrow AM = MC. \] 2. \( ВН \) — высота из вершины \( В \), она проводится перпендикулярно к \( AC \). 3. Из условия, что \( ВС = ВМ \): - \( ВМ \) — длина от точки \( В \) до середины \( M \) стороны \( AC \). - \( ВС \) — сторона треугольника. --- ### Шаг 1. Обозначения и построения Пусть: - \( A = (0,0) \), - \( C = (a,0) \), так как \( AC \) лежит на оси \( x \). Тогда: - \( M \), середина \( AC \), координаты: \( M = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \). Обозначим: - \( B = (x_b, y_b) \), - высота \( ВН \) из \( B \) — перпендикуляр на \( AC \), то есть на ось \( x \). Поскольку высота из \( B \) опущена на \( AC \), и \( AC \) — горизонталь, то: - высота \( ВН \) — перпендикуляр, то есть \( N \) — проекция \( B \) на ось \( x \). Координаты точки \( N \): \[ N = (x_b, 0). \] --- ### Шаг 2. Анализ данных: \( АН = 54 \) Тогда: \[ АН = |x_b - 0| = |x_b| = 54. \] Поскольку \( A = (0,0) \), то \( x_b = \pm 54 \). --- ### Шаг 3. Связь между \( ВМ \) и \( ВС \) - \( M = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \), - \( B = (x_b, y_b) \), - \( V B M \): \[ ВМ = \sqrt{\left( x_b - \frac{a}{2} \right)^2 + (y_b - 0)^2} = \sqrt{\left( x_b - \frac{a}{2} \right)^2 + y_b^2}. \] Также, насколько известно, \( ВС = \sqrt{(x_b - a)^2 + y_b^2} \). --- ### Шаг 4. Условие \( ВС = ВМ \) \[ \sqrt{(x_b - a)^2 + y_b^2} = \sqrt{\left( x_b - \frac{a}{2} \right)^2 + y_b^2}. \] Обе стороны в равенстве содержат \( y_b^2 \), они исчезают при возведении в квадрат: \[ (x_b - a)^2 + y_b^2 = \left( x_b - \frac{a}{2} \right)^2 + y_b^2, \] что даёт: \[ (x_b - a)^2 = \left( x_b - \frac{a}{2} \right)^2. \] Раскроем квадраты: \[ x_b^2 - 2 a x_b + a^2 = x_b^2 - a x_b + \frac{a^2}{4}. \] Отменяем \( x_b^2 \): \[ -2 a x_b + a^2 = - a x_b + \frac{a^2}{4}. \] Переносим все в одну сторону: \[ -2 a x_b + a^2 + a x_b - \frac{a^2}{4} = 0, \] \[ (-2a x_b + a x_b) + a^2 - \frac{a^2}{4} = 0, \] \[ - a x_b + \left( a^2 - \frac{a^2}{4} \right) = 0, \] \[ - a x_b + \frac{3 a^2}{4} = 0, \] \[ a x_b = \frac{3 a^2}{4}. \] Если \( a \neq 0 \): \[ x_b = \frac{3 a}{4}. \] --- ### Шаг 5. Используем \( AN = 54 \) и \( x_b \) Из \( AN = 54 \), и \( A = (0,0) \): \[ |x_b| = 54, \] стоит два варианта: - \( x_b = 54 \), - или \( x_b = -54 \). Рассмотрим оба варианта. --- ### Шаг 6. Анализ варианта \( x_b = 54 \) При \( x_b = 54 \): \[ 54 = \frac{3 a}{4} \Rightarrow a = \frac{4}{3} \times 54 = 72. \] **Длина стороны \( AC \):** \[ AC = a = 72. \] --- ### Шаг 7. Анализ варианта \( x_b = -54 \) При \( x_b = -54 \): \[ -54 = \frac{3 a}{4} \Rightarrow a = -\frac{4}{3} \times 54 = -72, \] длина — положительное число, значит: \[ AC = |a| = 72. \] **Ответ:** \[ \boxed{72}. \] --- ### Итог: Длина стороны \( AC \) равна **72** (единиц измерения). --- Если нужны дополнительные объяснения или проверка, скажите!