Давайте подробно решим задачу по шагам.
Дано:
- Скорость каждой частицы: ( v = 0{,}5c )
- Расстояние между частицами: ( l = 10,м )
- Нужно найти время до столкновения в вакууме.
Шаг 1: Что происходит в системе отсчёта обеих частиц?
Обеспокоенность вызывает скорость, с которой частицы приближаются друг к другу. В классической механике (без учёта релятивистских эффектов) суммы скоростей:
[ v_{сумм} = v_1 + v_2 ]
Но так как скорости близки к скорости света ( c ), нужно использовать релятивистское сложение скоростей.
Шаг 2: Релятивистское сложение скоростей
Если одна частица движется со скоростью ( v ) вправо, а другая — со скоростью ( v \ влево ) (в системе отсчёта, где первая неподвижна), то их относительная скорость по формуле:
[
u' = \frac{v + v}{1 + \frac{v v}{c^2}} = \frac{2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}}
]
Подставим ( v = 0{,}5c ):
[
u' = \frac{2 \times 0.5c}{1 + (0.5)^2} = \frac{c}{1 + 0.25} = \frac{c}{1.25} = 0.8c
]
Обратите внимание:
Это — скорость приближения двух частиц друг к другу с точки зрения системы отсчёта, в которой они исходно находятся на расстоянии в 10 м.
Шаг 3: Расчёт времени до столкновения
Время до столкновения — это расстояние, делённое на относительно приближающуюся скорость:
[
t = \frac{l}{u'} = \frac{10,м}{0.8c}
]
где ( c \approx 3 \times 10^8,м/с ).
Подставим значения:
[
t = \frac{10}{0.8 \times 3 \times 10^8} = \frac{10}{2.4 \times 10^8} \text{ секунд}
]
Посчитаем:
[
t \approx 4.1667 \times 10^{-8}, \text{секунд}
]
Шаг 4: Переводим в наносекунды
1 наносекунда ((1,нс)) = (10^{-9}) секунд.
Следовательно:
[
t \approx 41.67, \text{нс}
]
Округлим до целого числа:
[
\boxed{42, \textнс}
]
Итог:
Через примерно 42 наносекунды произойдет столкновение.
