В прямоугольном треугольнике катет равен 12 синус б равен 0, 6 найди площадь круга, описанного около этого треугольника.

Давайте подробно решим задачу: в прямоугольном треугольнике катет равен 12, синус угла β равен 0,6, нужно найти площадь описанного вокруг круга.

Шаг 1. Распределение известных значений:

• Катет \(a = 12\)
• \(\sin \beta = 0,6\)

Шаг 2. Найдём гипотенузу и другие стороны.

Обозначения:

• Пусть катеты: \(a\), \(b\)
• Гипотенуза: \(c\)

Поскольку синус угла \(\beta\), расположенного напротив катета \(b\), равен \(0,6\), используем определение синуса в прямоугольном треугольнике: \[ \sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\hypotenuse} = \frac{b}{c} \] Тогда: \[ b = 0,6 c \]

Шаг 3. Найдём второй катет \(a\). У нас есть один известный катет \(a = 12\), и гипотенуза связана с катетами через теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим \(b = 0,6 c\): \[ 12^2 + (0,6 c)^2 = c^2 \] \[ 144 + 0,36 c^2 = c^2 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 144 = c^2 - 0,36 c^2 = (1 - 0,36) c^2 = 0,64 c^2 \] Следовательно: \[ c^2 = \frac{144}{0,64} = 225 \] \[ c = \sqrt{225} = 15 \]

Теперь найдём \(b\): \[ b = 0,6 \times 15 = 9 \]

Шаг 4. Проверьте, что всё корректно:

• Катет \(a = 12\),
• Катет \(b = 9\),
• Гипотенуза \(c = 15\).

Проверим теорему Пифагора: \[ 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \] \[ c^2 = 15^2 = 225 \] Подходит.

Шаг 5. Найдём радиус описанного вокруг круга (описанная окружность). В прямоугольном треугольнике радиус окружности равен половине гипотенузы: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 \]

Шаг 6. Найдём площадь круга: \[ S = \pi R^2 = \pi \times (7,5)^2 = \pi \times 56,25 = 56,25 \pi \]

Ответ: Площадь описанной окружности равна \(\boxed{56,25 \pi}\).