Давайте подробно решим задачу: в прямоугольном треугольнике катет равен 12, синус угла β равен 0,6, нужно найти площадь описанного вокруг круга.
Шаг 1. Распределение известных значений:
- Катет (a = 12)
- (\sin \beta = 0,6)
Шаг 2. Найдём гипотенузу и другие стороны.
Обозначения:
- Пусть катеты: (a), (b)
- Гипотенуза: (c)
Поскольку синус угла (\beta), расположенного напротив катета (b), равен (0,6), используем определение синуса в прямоугольном треугольнике:
[
\sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\hypotenuse} = \frac{b}{c}
]
Тогда:
[
b = 0,6 c
]
Шаг 3. Найдём второй катет (a). У нас есть один известный катет (a = 12), и гипотенуза связана с катетами через теорему Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставим (b = 0,6 c):
[
12^2 + (0,6 c)^2 = c^2
]
[
144 + 0,36 c^2 = c^2
]
Переносим всё в одну сторону:
[
144 = c^2 - 0,36 c^2 = (1 - 0,36) c^2 = 0,64 c^2
]
Следовательно:
[
c^2 = \frac{144}{0,64} = 225
]
[
c = \sqrt{225} = 15
]
Теперь найдём (b):
[
b = 0,6 \times 15 = 9
]
Шаг 4. Проверьте, что всё корректно:
- Катет (a = 12),
- Катет (b = 9),
- Гипотенуза (c = 15).
Проверим теорему Пифагора:
[
12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225
]
[
c^2 = 15^2 = 225
]
Подходит.
Шаг 5. Найдём радиус описанного вокруг круга (описанная окружность). В прямоугольном треугольнике радиус окружности равен половине гипотенузы:
[
R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7,5
]
Шаг 6. Найдём площадь круга:
[
S = \pi R^2 = \pi \times (7,5)^2 = \pi \times 56,25 = 56,25 \pi
]
Ответ:
Площадь описанной окружности равна (\boxed{56,25 \pi}).
